문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
lim(x+1)f(x)=6, lim(x+1)=3. 두 극한이 모두 존재하고 3≠0이므로 lim f(x)=6/3=2. (x+1)f(x)를 (x+1)로 나눠 f(x)만 남기는 셈이다. 곱해진 인수를 그 극한값으로 나눠 목표 함수를 떼어내는 게 이 유형의 정석 스킬이다.
◀ 곱해진 인수는 그 극한값으로 나눠 떼어낸다
lim g(x)/(x+2)=1, lim(x+2)=4. 두 극한이 모두 존재하므로 lim g(x)=1×4=4. 분모로 나뉜 (x+2)를 다시 곱해 g(x)를 복원한다. 나눠진 인수는 곱해서, 곱해진 인수는 나눠서 언제나 목표 함수만 분리한다.
◀ 나눠진 인수는 그 극한값을 곱해 복원한다
lim f=2, lim g=4를 구했으면 목표식에 통째로 대입한다. [{2·2}²+2]/[2·4]=(16+2)/8=18/8=9/4. 앞의 두 조건을 뜯어 lim f, lim g라는 부품부터 만들고, 마지막엔 조립만 하면 끝난다. 복잡한 식일수록 부품부터 만들어라.
◀ lim f, lim g를 먼저 구하면 나머지는 대입뿐
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 목표식에 f(x), g(x)가 섞여 있으니 lim f(x), lim g(x)라는 부품을 먼저 만들어야 한다. 조건은 f, g를 다항식과 곱하거나 나눈 형태로 위장돼 있는데, 극한이 존재하고 값이 0이 아닌 다항식으로 나누거나 곱해 목표 함수만 분리한다. lim f=2, lim g=4를 얻으면 나머지는 단순 대입이다.
실수 포인트 ① : lim(x+1)f(x)=6에서 곧바로 f(x)=6이라 착각하는 실수. (x+1)의 극한 3으로 나눠 lim f=2를 구해야 한다.
실수 포인트 ② : 극한의 성질(곱·몫으로 쪼개기)을 쓸 때 ‘두 극한이 모두 존재하고 나누는 값이 0이 아님’을 확인하지 않는 실수. x=2에서 x+1=3, x+2=4로 모두 0이 아니라 성립한다.
실수 포인트 ③ : 마지막 대입에서 {2f(x)}²을 2f(x)²으로 잘못 계산하는 실수. (2×2)²=16이지 2×4=8이 아니다. (16+2)/(2×4)=18/8=9/4.
정답 : ④ (9/4)