문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(f(x+1)+x+1)/(x²−1)을 통째로 보면 답이 안 나온다. f(x+1)/(x²−1) + (x+1)/(x²−1)로 분리하라. f가 든 항만 조건(f/x)으로 처리하고, 나머지 유리식 항은 인수분해로 약분하면 된다.
◀ f가 든 항 vs 순수 유리식 항, 분리가 첫걸음이다
조건은 limx→0 f(x)/x=2. 이걸 쓰려면 f(x+1) 아래에 (x+1)이 있어야 한다. x+1=t로 치환하면 x→−1일 때 t→0이 되고, x²−1=(x+1)(x−1)=t(t−2). 즉 f(t)/[t(t−2)]=f(t)/t × 1/(t−2)로 쪼개 f(t)/t=2를 강제로 복원한다.
◀ 조건의 ‘f(속)/속’ 꼴을 억지로 만드는 게 핵심 스킬
f쪽: limt→0 f(t)/t × 1/(t−2)=2×(−1/2)=−1. 순수 유리식쪽: (x+1)/[(x+1)(x−1)]에서 (x+1) 약분 후 limx→−1 1/(x−1)=−1/2. 두 값을 더하면 −1+(−1/2)=−3/2.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x+1)이 보이고 조건이 f(x)/x 꼴이면, 무조건 ‘속=분모’를 맞춰 f(속)/속 꼴을 복원한다. x+1=t 치환이 바로 그 장치다. 분수는 먼저 f가 든 항과 안 든 항으로 쪼개는 게 시작이다.
실수 포인트 ① : x²−1을 인수분해하지 않고 그냥 대입해 0/0에서 멈추는 실수. (x+1)(x−1)로 쪼개 약분해야 길이 열린다.
실수 포인트 ② : 치환 후 x−1을 t로 착각하는 실수. x−1=(x+1)−2=t−2다. t→0을 넣으면 1/(t−2)=−1/2.
실수 포인트 ③ : 두 극한을 더할 때 부호 실수. −1 + (−1/2)=−3/2이지 −1/2가 아니다.
정답 : ② (−3/2)