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삼단논법과 대우를 이용하여 조건들 사이의 관계를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 명제가 모두 참이므로, 그 대우도 모두 참입니다.
– r → q (주어짐) ⇒ ~q → ~r (대우)
– ~r → ~p (주어짐) ⇒ p → r (대우)
2. 삼단논법을 적용합니다.
– (p → r) 이고 (r → q) 이므로, **p → q** 입니다.
– (~q → ~r) 이고 (~r → ~p) 이므로, **~q → ~p** 입니다.
3. 이 관계들을 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
주의할 점:
주어진 명제만으로 연결되지 않을 때는, 그 대우를 구하여 새로운 연결고리를 찾는 것이 삼단논법 문제의 핵심 전략입니다.
”
삼단논법과 대우를 이용한 관계 추론하기
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절댓값 부등식을 포함한 조건들의 필요/충분 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) |x|+|y|=0 ⇔ x=0 이고 y=0. x²+y²=0 ⇔ x=0 이고 y=0. 두 조건은 **필요충분조건**입니다.
2. (ㄴ) x>y>0 이면 x²>y² 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (반례: x=-2, y=-1 이면 x²>y² 이지만 x>y>0이 아님). **충분조건**.
3. (ㄷ) |x+y|=|x|+|y| ⇔ xy≥0. xy>0이면 xy≥0이므로 **충분조건**입니다.
주의할 점:
절댓값과 관련된 여러 등식/부등식이 어떤 의미를 갖는지 정확히 알고 있어야 합니다. (예: |a+b|=|a|+|b| ⇔ ab≥0, |a+b|
”
절댓값 부등식과 필요/충분조건 관계 판별
“
절대부등식과 관련된 필요/충분조건 문제입니다.
접근법:
1. (p) ax²+bx+c > 0. 이는 이차함수가 x축 위에 떠 있다는 의미입니다.
2. (q) b²-4ac 3. **(p와 q의 관계)** ‘모든 실수 x에 대하여’ ax²+bx+c > 0 이 성립하려면, **a>0 이고 b²-4ac 4. 따라서, q는 p이기 위한 **필요조건**이지만, a>0 조건이 없으므로 충분조건은 아닙니다. (반례: a
주의할 점:
‘모든 x에 대한 이차부등식’의 성립 조건은 최고차항의 계수(a)의 부호와 판별식(D)의 부호를 함께 고려해야 합니다.
”
절대부등식과 필요/충분조건의 관계
“
‘모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 전체집합 U={-1, 0, 1}의 원소를 각 조건에 대입해 봅니다.
2. (p) ‘어떤 x에 대해 x+2>4 (즉, x>2) 이다.’ U의 원소 중 x>2를 만족하는 것은 없으므로 p는 **거짓**입니다.
3. (q) ‘모든 x에 대해 x²+3≥2 이다.’ U의 모든 원소(-1,0,1)는 이 부등식을 만족하므로 q는 **참**입니다.
4. p는 거짓인 명제, q는 참인 명제입니다. p→q는 ‘거짓→참’ 이므로 **참**입니다. q→p는 ‘참→거짓’이므로 **거짓**입니다.
5. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
명제 p가 거짓일 경우, p→q는 q의 참/거짓에 관계없이 항상 참이 됩니다. (진공 참)
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 필요/충분조건 판별
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네 조건 사이의 관계를 통해 필요/충분/필요충분조건을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 생각하며 포함 관계를 따집니다.
2. (p와 q) A⊂B이면 A∩B=A 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
3. (p와 r) A⊂B이면 A∪B=B 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
4. (p와 s) A⊂B이면 A-B=∅ 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
5. 따라서 p, q, r, s는 모두 서로에게 필요충분조건입니다.
주의할 점:
집합의 포함 관계(A⊂B)와 동치인 여러 표현들을 정확하게 암기하고 있어야 합니다.
”
집합의 포함 관계와 필요충분조건 찾기
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산술-기하 평균 부등식과 관련된 필요/충분조건 문제입니다.
접근법:
1. (p↔q) a≥0, b≥0 이라는 전제 하에, a+b≥2√ab 는 산술-기하 평균 부등식이며 항상 성립합니다. 등호는 a=b일 때 성립합니다. 따라서 a+b=2√ab 와 a=b는 **필요충분조건**입니다.
2. (p와 r) a=b=0 이면 |a|+|b|=0 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→r)
3. (q와 r) a=b 이고 a≥0, b≥0 이면 |a|+|b|=0이 항상 성립하는 것은 아닙니다. (a=b=1일 때 |a|+|b|=2)
4. 관계를 종합하면, q는 p이기 위한 필요충분조건, p는 r이기 위한 충분조건입니다.
주의할 점:
산술-기하 평균 부등식이 성립하기 위한 전제 조건(두 수가 0 이상)과 등호 성립 조건(두 수가 같을 때)을 명확히 알고 있어야 합니다.
”
산술-기하 평균과 필요충분조건의 이해
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네 조건 사이의 관계를 화살표로 나타내고, 필요/충분조건을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 구하거나, 조건 사이의 논리적 관계를 파악하여 화살표(→)의 방향을 결정합니다.
2. (p와 q) x=y 이면 x²=y² 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→q)
3. (q와 r) x²=y² 이면 x=y 또는 x=-y 입니다. 이는 |x|=|y|와 동치입니다. (q↔r)
4. (p와 s) x=y 이면 x³=y³ 이고, 그 역도 성립합니다. (p↔s)
5. (r과 s) |x|=|y|와 x³=y³ 사이에는 직접적인 포함 관계가 성립하지 않습니다.
6. 화살표 관계를 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
주의할 점:
두 조건이 필요충분조건인지(진리집합이 같은지), 아니면 한쪽 방향으로만 포함되는지 정확히 구분해야 합니다.
”
네 조건 사이의 필요/충분조건 관계 분석하기
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세 집합의 포함 관계를 통해 세 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. R⊂(P∩Q) 라는 것은, R⊂P 이고 동시에 R⊂Q 임을 의미합니다.
2. (r과 p의 관계) R⊂P 이므로 r→p는 참입니다. 따라서 r은 p이기 위한 **충분조건**입니다.
3. (p와 q의 관계) P와 Q 사이의 포함 관계는 주어지지 않았으므로, 아무 관계도 아닙니다.
4. (r과 q의 관계) R⊂Q 이므로 r→q는 참입니다. 따라서 r은 q이기 위한 **충분조건**입니다.
5. (P∪Q)ᶜ ⊂ Rᶜ 의 대우는 R ⊂ (P∪Q) 입니다. R⊂P 이므로 당연히 R⊂(P∪Q)도 성립합니다.
주의할 점:
주어진 집합 포함 관계를 벤 다이어그램으로 그려보면, 각 조건 사이의 관계를 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
세 집합의 포함 관계로 필요/충분조건 찾기
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진리집합의 포함 관계가 주어졌을 때, 두 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건 (A∪B) – B = A – B 를 간단히 하여 A와 B의 관계를 파악합니다.
– (A∪B)∩Bᶜ = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪(B∩Bᶜ) = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪∅ = A∩Bᶜ. 이는 A-B=A-B 이므로 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A⊂B를 유도함. 만약 (A∪B) – B = ∅ 이었다면 A⊂B가 됨)
3. 해설 기준: A⊂B 라는 포함 관계를 이끌어냈다고 가정합니다.
4. **(A⊂B 이므로) p→q가 참**입니다. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산을 통해 두 집합의 포함 관계를 먼저 밝혀낸 뒤, 그 관계를 필요/충분조건으로 해석하는 문제입니다.
”
진리집합의 연산과 필요/충분조건 관계 추론
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부정(~p)이 다른 조건의 충분조건이 될 때의 미지수 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~p는 q이기 위한 충분조건이다’는 것은, 명제 **~p → q가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 ~p의 진리집합 Pᶜ이 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Pᶜ ⊂ Q).
3. p의 진리집합 P를 구하고, 그것의 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
4. Pᶜ과 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Pᶜ이 Q에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
927번 문제와 비교하여, 필요조건(Q⊂Pᶜ)과 충분조건(Pᶜ⊂Q)의 차이를 명확히 구분해야 합니다.
”
부정 명제가 충분조건이 될 때의 범위 찾기 (Pᶜ⊂Q)
