“
부정(~p)이 다른 조건의 필요조건이 될 때의 미지수 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~p는 q이기 위한 필요조건이다’는 것은, 명제 **q → ~p가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 q의 진리집합 Q가 ~p의 진리집합 Pᶜ에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Q ⊂ Pᶜ**).
3. p의 진리집합 P의 범위를 먼저 구하고, 그것의 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
4. Q와 Pᶜ의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 Pᶜ에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 k의 범위를 찾고, 정수 k의 개수를 셉니다.
주의할 점:
부정(~)과 조건(필요/충분)이 결합되었을 때, 이를 진리집합의 포함 관계(Pᶜ, Q, ⊂)로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다.
”
부정 명제가 필요조건이 될 때의 범위 찾기 (Q⊂Pᶜ)
“
주어진 관계가 충분조건이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 충분조건이 되려면, 명제 **p→q가 참**이어야 합니다.
2. 이는 p의 진리집합 P가 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (P⊂Q).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, P가 Q에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
909, 910번의 ‘명제가 참일 조건’과 ‘충분조건’은 같은 의미(P⊂Q)입니다.
”
충분조건이 되도록 하는 미지수의 범위 구하기
“
주어진 관계가 필요조건이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 필요조건이 되려면, 명제 **q→p가 참**이어야 합니다.
2. 이는 q의 진리집합 Q가 p의 진리집합 P에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Q⊂P).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
918, 919번의 ‘역이 참일 조건’과 ‘필요조건’은 같은 의미(Q⊂P)입니다.
”
필요조건이 되도록 하는 미지수의 범위 구하기
“
필요조건이지만 충분조건은 아닌 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니라는 것은,
– q→p는 참 (Q⊂P)
– p→q는 거짓 (P⊄Q)
– 즉, **Q⊂P 이고 P≠Q** 인 관계를 찾는 것입니다.
2. 각 보기의 진리집합 P와 Q를 구하고, 이 포함 관계를 만족하는지 확인합니다.
주의할 점:
필요조건과 충분조건의 정의를 진리집합의 포함 관계로 정확하게 변환할 수 있어야 합니다.
”
필요조건이지만 충분조건은 아닌 것 찾기 (Q⊂P, P≠Q)
“
필요조건, 충분조건, 필요충분조건을 진리집합의 포함 관계로 판별하는 문제입니다.
접근법:
p → q (p이면 q이다) 라는 명제에 대하여,
(충분조건) p가 q이기 위한 충분조건 ⇔ p→q가 참 ⇔ P⊂Q
(필요조건) p가 q이기 위한 필요조건 ⇔ q→p가 참 ⇔ Q⊂P
(필요충분조건) p가 q이기 위한 필요충분조건 ⇔ p→q와 q→p가 모두 참 ⇔ P=Q
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P, Q를 구합니다.
2. 두 진리집합의 포함 관계를 확인하여 어떤 조건에 해당하는지 판별합니다.
주의할 점:
화살표를 주는 쪽(p)이 충분조건, 받는 쪽(q)이 필요조건으로 기억하면 편리합니다. (p는 q에게 화살표를 주기에 충분하다.)
”
필요조건, 충분조건의 진리집합 포함 관계 이해
“
역과 대우가 모두 참인 명제를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. **역(q→p)과 대우(~q→~p)가 모두 참**이라는 것은, **원래 명제(p→q)도 참**이라는 것을 의미합니다. (대우가 참이므로)
2. 결국, 이 문제는 **p→q 와 q→p가 모두 참**인 명제를 찾는 것과 같습니다.
3. 이는 두 조건 p와 q가 **필요충분조건** 관계에 있음을 의미하며, 두 조건의 **진리집합 P와 Q가 서로 같아야** 합니다 (P=Q).
4. 각 보기의 p와 q에 대한 진리집합을 구하고, P=Q인 경우를 찾습니다.
주의할 점:
역과 대우가 모두 참 ⇔ 원래 명제와 역이 모두 참 ⇔ p와 q가 필요충분조건 ⇔ P=Q. 이 모든 관계는 동치입니다.
”
역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
“
대우를 이용해 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제의 **대우**는 ‘x≥2 이고 y≥k 이면 x+y≥5 이다’ 입니다.
2. 이 대우 명제가 항상 참이 되어야 합니다.
3. x≥2 이고 y≥k 이므로, 두 부등식의 각 변을 더하면 x+y ≥ 2+k 입니다.
4. x+y가 항상 5 이상이 되려면, x+y의 최솟값인 2+k가 5보다 크거나 같아야 합니다.
5. 따라서, 2+k ≥ 5 라는 부등식을 풀어 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
부등식의 덧셈 성질을 이용하여 새로운 부등식을 만들어내고, 두 부등식의 범위를 비교하는 문제입니다.
”
대우를 이용한 부등식 명제의 증명하기
“
명제의 대우를 이용하여, 원래 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘x>a 이면 x²-8x-20≠0 이다’ 라는 명제가 참이 되기 위한 조건을 직접 구하기는 어렵습니다.
2. **원래 명제와 대우는 참/거짓을 함께**하므로, 이 명제의 **대우**가 참이 될 조건을 대신 구합니다.
3. (대우) ‘x²-8x-20=0 이면 x≤a 이다.’
4. 이차방정식 x²-8x-20=0의 해를 구합니다. (x=10 또는 x=-2)
5. 이 해들이 모두 결론(x≤a)을 만족해야 합니다. 즉, 10≤a 이고 -2≤a 여야 합니다.
6. 두 조건을 모두 만족하는 a의 범위는 a≥10 이므로, a의 최솟값은 10입니다.
주의할 점:
‘~가 아니다(≠)’ 와 같은 부정적인 결론을 가진 명제는, 대우를 취하여 긍정적인 결론(‘~이다(=)’)으로 바꾸어 풀면 훨씬 쉬워집니다.
”
대우를 이용한 명제의 증명 (부정형 결론 문제)
“
918번 문제와 동일하게, 명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수 k의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q의 역은 q→p 입니다.
2. 역이 참이 되려면, 진리집합 **Q⊂P** 여야 합니다.
3. p와 q의 진리집합을 각각 부등식의 해로 구합니다.
4. 수직선 위에 Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
5. P의 범위가 Q의 범위를 완전히 덮도록 하는 k의 범위를 부등식으로 세우고, 정수 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
각 부등식을 풀어 진리집합의 범위를 정확하게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수 k값 찾기
“
명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제 p→q의 **역**은 **q→p** 입니다.
2. 역이 참이 되려면, q의 진리집합 Q가 p의 진리집합 P에 **완전히 포함되어야** 합니다 (Q⊂P).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역’이 참일 조건은 Q⊂P 이고, ‘원래 명제’가 참일 조건은 P⊂Q 입니다. 두 가지를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
명제의 역이 참이 될 조건 (Q⊂P)과 미지수 범위
