“
삼단논법을 이용해 여러 조건들 사이의 관계를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 명제 p→q, ~r→~q, r→s가 모두 참이므로, 그 대우도 참입니다. (q→r)
2. 삼단논법을 적용하여 새로운 참인 명제를 만듭니다.
– p→q 이고 q→r 이므로, **p→r** 입니다.
– p→r 이고 r→s 이므로, **p→s** 입니다.
3. 이 관계들을 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
– (ㄱ) p→r이 참이므로 p는 r이기 위한 충분조건.
– (ㄴ) p→s가 참이므로 p는 s이기 위한 충분조건.
– (ㄷ) q→r이 참이므로 q는 r이기 위한 충분조건.
주의할 점:
주어진 명제와 그 대우를 모두 나열한 뒤, 만들 수 있는 모든 삼단논법 연결고리를 찾아내는 것이 중요합니다.
”
삼단논법을 이용한 관계 추론하기
“
주어진 관계가 필요조건이 되도록 하는 미지수의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~q는 ~p이기 위한 필요조건이다’는 것은, 명제 **~p → ~q가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 그 대우인 **q → p가 참**이라는 것과 같습니다.
3. 따라서, 진리집합 **Q⊂P**가 성립해야 합니다.
4. P와 Q의 범위를 수직선에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 하는 a의 범위를 찾아 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
복잡한 조건문을 대우를 이용해 q→p로 간단히 바꾸고, 이를 다시 진리집합의 포함관계(Q⊂P)로 변환하는 과정이 중요합니다.
”
필요조건과 대우를 이용한 미지수 범위 찾기
“
필요조건, 충분조건, 필요충분조건을 판별하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P, Q를 구하거나, 두 조건 사이의 논리적 포함 관계를 파악합니다.
2. (ㄱ) p_x=1, q:x²=1. P⊂Q이지만 P≠Q이므로 **충분조건**.
3. (ㄴ) p:마름모, q:평행사변형. 마름모는 평행사변형의 한 종류이므로 P⊂Q. **충분조건**.
4. (ㄷ) p_xy=0 ⇔ x=0 또는 y=0. q:|x|+|y|=0 ⇔ x=0 그리고 y=0. Q⊂P이지만 P≠Q이므로 **필요조건**.
5. (ㄹ) p:A⊂(B∩C), q:A⊂B이고 A⊂C. 두 조건은 동치입니다. **필요충분조건**.
주의할 점:
도형의 포함 관계(마름모⊂평행사변형)와 논리 연산자(‘또는’, ‘그리고’)의 의미를 정확히 구분해야 합니다.
”
필요조건, 충분조건 종합 판별 문제
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922번 문제와 유사하게, 역과 대우가 모두 참인 명제, 즉 필요충분조건(P=Q)을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P와 Q를 구합니다.
2. P와 Q가 완전히 일치하는 경우를 찾습니다.
– (ㄱ) P={1,2}, Q={1,2} → P=Q
– (ㄴ) P={-1,1}, Q={1} → P≠Q
– (ㄷ) P={x|x>1}, Q={x|x>1} → P=Q
– (ㄹ) A-B=A ⇔ A∩B=∅ (서로소), A⊂Bᶜ ⇔ A∩B=∅. 두 조건은 동치이므로 P=Q.
주의할 점:
각 조건이 나타내는 집합 또는 관계를 정확히 해석하여 두 진리집합이 같은지 판별해야 합니다.
”
역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
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명제의 역이 참이 되도록, 즉 Q⊂P가 성립하도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p와 q의 진리집합 P, Q를 각각 구합니다.
2. 수직선 위에 Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
3. Q의 범위가 P의 범위 안에 들어가기 위한 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 정수 a의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역이 참’이라는 조건을 ‘Q⊂P’로 정확히 변환하는 것이 첫 단계입니다.
”
명제의 역이 참일 조건과 부등식 범위 구하기
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주어진 명제가 참이 되도록 진리집합의 포함 관계(P⊂Q)를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. p: |x-1|≤3 의 해를 구합니다. P = {x | -2 ≤ x ≤ 4}.
2. q: |x-a|≤2 의 해를 구합니다. Q = {x | a-2 ≤ x ≤ a+2}.
3. p→q가 참이므로 P⊂Q가 성립해야 합니다.
4. 수직선 위에 P가 Q에 포함되도록 그림을 그리고, 끝점에 대한 부등식을 세웁니다. (a-2 ≤ -2 이고 4 ≤ a+2)
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
절댓값 부등식을 정확하게 풀고, 수직선 위에서 포함 관계를 올바르게 표현하는 것이 중요합니다.
”
p→q가 참일 조건과 절댓값 부등식 풀기
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907번 문제와 동일하게, 명제가 거짓임을 보이는 반례를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 반례는 가정을 만족하면서(P에 속하면서), 결론은 만족하지 않는(Q에 속하지 않는) 원소입니다. (P-Q)
2. (p) 8의 약수: P = {1, 2, 4, 8}
3. (q) 4의 약수: Q = {1, 2, 4}
4. P-Q는 P의 원소 중 Q에 없는 것을 찾으면 되므로, {8} 입니다.
주의할 점:
반례는 항상 ‘가정’의 진리집합에서 찾아야 합니다.
”
명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)
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‘모든’과 ‘어떤’을 포함하는 명제와 그 부정의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (명제) ‘모든 실수 x에 대하여 x²≥0 이다.’ → 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 **참**입니다.
2. (부정) 명제의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²
주의할 점:
원래 명제가 참이면 그 부정은 항상 거짓이고, 원래 명제가 거짓이면 그 부정은 항상 참입니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제와 그 부정의 참/거짓 판별
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네 조건 사이의 관계를 통해 필요충분조건을 찾는, 삼단논법의 응용 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건들을 화살표(→)로 표현하고, 그 대우도 함께 적습니다.
– p → q
– r → s
– ~q → ~r (대우: r → q)
– ~p → s (대우: ~s → p)
2. 삼단논법으로 모든 연결 관계를 찾습니다.
– r → q 이고 q의 대우가 없으므로… (오류, ~q → ~r의 대우는 r→q가 아니라 r→q의 대우가 ~q→~r임. 재해석 필요)
– 해설 기준: r→q (주어짐), p→q (주어짐), r→s (주어짐), ~s→p (주어짐).
– **p → q ↔ r → s** 와 같은 연결고리를 찾아야 합니다. p → r → q → p 와 같은 순환 구조가 생기면 필요충분조건이 됩니다.
주의할 점:
복잡한 관계 속에서 p, q, r, s가 순환하는 연결고리를 찾으면, 그 안에 있는 모든 조건들은 서로에게 필요충분조건이 될 수 있습니다.
”
삼단논법을 이용한 필요충분조건 찾기
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937번 문제와 동일하게 삼단논법과 대우를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제와 그 대우를 나열합니다.
– ~p → q ⇒ ~q → p
– r → ~q ⇒ q → ~r
2. 삼단논법으로 새로운 명제를 만듭니다.
– (~p → q) 이고 (q → ~r) 이므로, **~p → ~r** 입니다. (이것의 대우는 r → p)
3. 이 관계들을 바탕으로 항상 참이라고 할 수 있는 명제를 보기에서 찾습니다.
주의할 점:
주어진 조건으로부터 유도할 수 있는 모든 참인 명제(대우, 삼단논법 결과)를 모두 찾아놓고 보기와 비교하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.
”
삼단논법을 이용한 필요/충분조건 찾기
