고등대수 연산 로그부등식 기본 풀이 연습 – 기본 다지기

유형 2 — 상수를 로그로 변환: log₂(2x − 1) > log₂8

밑 2 > 1 → 부등호 유지: 2x − 1 > 8 → x > 9/2

진수 조건: 2x − 1 > 0 → x > 1/2

연립: x > 9/2 ∩ x > 1/2 → x > 9/2

유형 2: −1 = log_1/3(1/3)⁻¹ = log_1/33

log_1/3(x + 2) ≥ log_1/33

밑 1/3 < 1 → 🔄 뒤집기: x + 2 ≤ 3 → x ≤ 1

진수 조건: x + 2 > 0 → x > −2

연립: x ≤ 1 ∩ x > −2 → −2 < x ≤ 1

유형 1 — 밑 3 > 1 → 부등호 유지: x − 1 < 5 − x → 2x < 6 → x < 3 …①

진수 조건: x − 1 > 0 → x > 1 …②  │  5 − x > 0 → x < 5 …③

연립 ①∩②∩③: x > 1 ∩ x < 3 ∩ x < 5 → 1 < x < 3

💡 진수 조건 2개 + 부등식 1개, 총 3개를 연립! 수직선에서 교집합을 구하면 확실.

밑 1/2 < 1 → 🔄 뒤집기: 3x − 2 < x + 4 → 2x < 6 → x < 3 …①

진수 조건: 3x − 2 > 0 → x > 2/3 …②  │  x + 4 > 0 → x > −4 …③

연립 ①∩②∩③: x > 2/3 ∩ x < 3 ∩ x > −4 → 2/3 < x < 3

유형 2: log₂(x² − 3x + 2) ≤ log₂2

밑 2 > 1 → 유지: x² − 3x + 2 ≤ 2 → x² − 3x ≤ 0 → x(x − 3) ≤ 0 → 0 ≤ x ≤ 3 …①

진수 조건: x² − 3x + 2 > 0 → (x − 1)(x − 2) > 0 → x < 1 또는 x > 2 …②

연립 ①∩②: (0 ≤ x ≤ 3) ∩ (x < 1 또는 x > 2)

= 0 ≤ x < 1  또는  2 < x ≤ 3

⚠ 진수 조건으로 x = 1과 x = 2가 제외된다! 이것이 로그부등식 특유의 “구멍 뚫린 해”.

성질: log₃(x(x − 2)) ≤ 1 = log₃3

밑 3 > 1 → 유지: x(x − 2) ≤ 3 → x² − 2x − 3 ≤ 0 → (x − 3)(x + 1) ≤ 0 → −1 ≤ x ≤ 3 …①

진수 조건: x > 0 그리고 x − 2 > 0 → x > 2 …②

연립 ①∩②: (−1 ≤ x ≤ 3) ∩ (x > 2) → 2 < x ≤ 3

⚠ 진수 조건은 합치기 “전”의 각 진수에 대해 따로 확인! log₃(x(x−2))로 합친 뒤의 x(x−2) > 0만 보면 x < 0도 포함돼서 틀린다.

유형 3 — 치환: t = log₂x (t는 모든 실수)

t² − 3t + 2 < 0 → (t − 1)(t − 2) < 0 → 1 < t < 2

되돌리기: 1 < log₂x < 2 → 2¹ < x < 2² (밑 2 > 1 → 유지)

∴ 2 < x < 4

💡 x > 0은 log₂x가 정의되는 조건에서 자동 만족. 로그 치환의 장점!

성질: log_1/2((x+3)(x−1)) > log_1/23

밑 1/2 < 1 → 🔄 뒤집기: (x+3)(x−1) < 3

x² + 2x − 3 < 3 → x² + 2x − 6 < 0

근의 공식: x = (−2 ± √28)/2 = −1 ± √7

−1 − √7 < x < −1 + √7 → 약 −3.65 < x < 1.65 …①

진수 조건: x + 3 > 0 → x > −3 …②  │  x − 1 > 0 → x > 1 …③

연립 ①∩②∩③: x > 1 ∩ x < 1.65 → 1 < x < −1+√7

−1 + √7 ≈ 1.646이므로, 1 < x < 1.646을 만족하는 정수는 없다.

∴ 정수의 개수 = 0

⚠ 진수 조건(x > 1)이 범위를 크게 줄여서 정수가 하나도 없게 된다! “정수의 개수” 문제는 진수 조건과의 교집합을 정밀하게 구해야 한다.