고등대수 연산 지수부등식 기본 풀이 연습 – 기본 다지기

밑 통일: 32 = 2⁵

2ˣ > 2⁵  →  밑 2 > 1이므로 부등호 유지

∴ x > 5

밑 통일: 9 = 3² = (1/3)⁻²

(1/3)ˣ ≤ (1/3)⁻²  →  밑 1/3 < 1이므로 부등호 🔄 뒤집기

x ≥ −2

∴ x ≥ −2

밑을 2로 통일:

4^x+1 = (2²)^x+1 = 2^2x+2

8ˣ = (2³)ˣ = 2^3x

2^2x+2 < 2^3x  →  밑 2 > 1이므로 부등호 유지

2x + 2 < 3x → 2 < x

∴ x > 2

밑을 1/2로 통일:

(1/4)^x+2 = ((1/2)²)^x+2 = (1/2)^2x+4

(1/2)^2x−1 ≥ (1/2)^2x+4  →  밑 1/2 < 1이므로 🔄 뒤집기

2x − 1 ≤ 2x + 4 → −1 ≤ 4 → 항상 성립 (모든 실수 x)

💡 정리하면 상수 부등식이 항상 참! 이런 경우 해는 “모든 실수”.

유형 2 — 치환: t = 2ˣ (t > 0)

t² − 3t − 4 > 0 → (t − 4)(t + 1) > 0

이차부등식의 해: t < −1 또는 t > 4

t > 0 조건과 교집합: t > 4

2ˣ > 4 = 2² → 밑 2 > 1이므로 x > 2

∴ x > 2

유형 2 — 치환: t = 3ˣ (t > 0)

t² − 10t + 9 ≤ 0 → (t − 1)(t − 9) ≤ 0

이차부등식의 해: 1 ≤ t ≤ 9

t > 0 조건 확인: 1 ≤ t ≤ 9 (이미 t > 0 만족) ✓

1 ≤ 3ˣ ≤ 9 → 3⁰ ≤ 3ˣ ≤ 3² → 밑 3 > 1이므로 방향 유지

∴ 0 ≤ x ≤ 2

2^2x+1 = 2 × (2ˣ)² = 2t²  (t = 2ˣ, t > 0)

2t² − 5t + 2 < 0 → (2t − 1)(t − 2) < 0

이차부등식의 해: 1/2 < t < 2

t > 0 확인: 1/2 < t < 2 ✓

1/2 < 2ˣ < 2 → 2⁻¹ < 2ˣ < 2¹ → 밑 2 > 1이므로 방향 유지

∴ −1 < x < 1

치환: t = (1/3)ˣ (t > 0)

(1/9)ˣ = ((1/3)²)ˣ = ((1/3)ˣ)² = t²

t² − t − 6 > 0 → (t − 3)(t + 2) > 0

해: t < −2 또는 t > 3

t > 0 조건과 교집합: t > 3

(1/3)ˣ > 3 = (1/3)⁻¹ → 밑 1/3 < 1이므로 🔄 뒤집기 → x < −1

정수 x: …, −4, −3, −2 → 무한히 많다

⚠ “정수의 개수”를 물으면 유한/무한 여부를 반드시 확인! 이 경우 x < −1이므로 정수는 무한히 많다.

💡 만약 “−5 ≤ x ≤ 5인 정수”라는 조건이 있었다면 x = −5, −4, −3, −2로 4개.