밑의 변환 공식 계산 연습
로그의 성질만으로는 해결할 수 없는 문제가 있습니다 — 바로 “밑이 서로 다른 로그”끼리의 계산입니다. log₂3 × log₃8처럼 밑이 다르면 성질 1~3을 직접 쓸 수 없죠. 이때 등장하는 것이 밑의 변환 공식입니다. logₐb = logcb / logca 한 줄로 모든 로그의 밑을 원하는 밑으로 통일할 수 있고, 여기서 파생되는 “역수 관계” logₐb × logba = 1과 “연쇄 소거” logₐb × logbc = logₐc까지 익히면 로그 계산의 무기가 완성됩니다. 수능·학평에서 밑의 변환은 거의 매년 출제되는 핵심 도구입니다.
핵심 공식 정리
공식 1 │ 밑의 변환 공식 (기본형)
logab = logcb / logca (c > 0, c ≠ 1)
· 밑 a를 원하는 밑 c로 바꾸는 공식. c는 보통 10이나 문제에서 편한 수로 선택.
공식 2 │ 역수 관계
logab = 1 / logba ⟺ logab × logba = 1
· 밑과 진수를 서로 바꾸면 역수가 된다. (밑의 변환 공식에서 c = b로 놓으면 유도됨)
공식 3 │ 연쇄 소거 (체인 법칙)
logab × logbc = logac
· 가운데 밑(b)이 약분되어 사라진다! 여러 개도 가능: logₐb × logbc × logcd = logₐd
공식 4 │ 밑·진수 거듭제곱 처리
logaᵐbⁿ = (n/m) logab
· 밑의 지수 m은 분모로, 진수의 지수 n은 분자로 나온다.
⚠ 1/logₐb = logba (역수 관계)이지, 1/logab ≠ loga(1/b)가 아님!
연습문제
Q1. log₂3 × log₃8 = ?
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연쇄 소거 (공식 3): log₂3 × log₃8 = log₂8
8 = 2³ 이므로 log₂8 = 3
Q2. log₂9 × log₃√2 = ?
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log₂9 = log₂3² = 2log₂3
log₃√2 = log₃21/2 = (1/2)log₃2
∴ 2log₂3 × (1/2)log₃2 = log₂3 × log₃2
역수 관계 (공식 2): log₂3 × log₃2 = 1
💡 마플시너지 146번에서 이것을 “=1이 아니다”로 출제. 계수 처리가 핵심!
Q3. log₂6 × log₆3 × log₃16 = ?
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연쇄 소거: log₂6 × log₆3 × log₃16 = log₂16
16 = 2⁴ 이므로 log₂16 = 4
💡 3개짜리 연쇄: 가운데 밑(6, 3)이 차례로 약분. 마플시너지 157번 유형.
Q4. log₄27 × log₃8 = ?
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공식 4 또는 직접 변환:
log₄27 = log₂²3³ = (3/2)log₂3
log₃8 = log₃2³ = 3log₃2
∴ (3/2)log₂3 × 3log₃2 = (9/2) × (log₂3 × log₃2) = (9/2) × 1 = 9/2
Q5. 1/log₂6 + 1/log₃6 = ?
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역수 관계: 1/log₂6 = log₆2, 1/log₃6 = log₆3
∴ log₆2 + log₆3 = log₆(2 × 3) = log₆6 = 1
💡 1/logₐb = logba 변환 후, 같은 밑으로 통일해서 로그 성질 적용!
Q6. log₉4 × log₈27 = ?
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모든 밑·진수를 소인수(2, 3)로 통일:
log₉4 = log₃²2² = (2/2)log₃2 = log₃2
log₈27 = log₂³3³ = (3/3)log₂3 = log₂3
∴ log₃2 × log₂3 = 1 (역수 관계)
Q7. log₂a = 3, log₂b = 5 일 때, logₐb = ?
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밑의 변환 (공식 1): logₐb = log₂b / log₂a
= 5 / 3 = 5/3
💡 밑의 변환에서 c를 “이미 알고 있는 밑(2)”으로 잡으면 바로 계산 가능!
Q8. (log₃2 + log₉8)(log₄3 + log₂9) = ?
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밑을 통일 (공식 4):
log₉8 = log₃²2³ = (3/2)log₃2
∴ 첫 괄호: log₃2 + (3/2)log₃2 = (5/2)log₃2
log₄3 = log₂²3 = (1/2)log₂3, log₂9 = log₂3² = 2log₂3
∴ 둘째 괄호: (1/2)log₂3 + 2log₂3 = (5/2)log₂3
∴ (5/2)log₃2 × (5/2)log₂3 = (25/4) × (log₃2 × log₂3) = (25/4) × 1 = 25/4
💡 마플시너지 159번(왕중요) 유형. 각 괄호를 같은 밑으로 정리 → 역수 관계로 마무리!
📘 이 개념의 이론이 필요하다면?
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