문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(p+x)+f(p−x)=0은 그래프가 점 (p, 0)에 대해 대칭이라는 뜻(기함수를 p만큼 밀어놓은 꼴). 여기선 p=1. 대칭식에 x=0을 대입하면 2f(1)=0 → f(1)=0, 그래서 (x−1)이 인수다. 최고차 1이므로 f(x)=(x−1)(x²+ax+b).
◀ 대칭식의 x=0 대입이 인수 (x−1)을 준다
조건 (나) ∫−13f'(x)dx = [f(x)]−13 = f(3)−f(−1) = 12. f’을 굳이 전개하지 마라. 도함수의 정적분은 원함수의 차이다. 이렇게 f(3)와 f(−1)의 ‘차’가 하나 만들어졌다.
◀ 정적분이 f(3)−f(−1)이라는 ‘차’를 만든다
대칭식 f(1+x)+f(1−x)=0에 x=2를 대입하면 f(3)+f(−1)=0, 즉 ‘합’이 나온다. (나)의 ‘차’ f(3)−f(−1)=12와 연립하면 f(3)=6, f(−1)=−6. 대칭조건은 ‘합’, 정적분은 ‘차’를 주는 연립 도구다.
◀ 합(대칭)과 차(정적분)를 연립하면 값이 확정
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 대칭조건 (가)가 열쇠다. x=0을 넣어 f(1)=0으로 인수 (x−1)을 얻고, x=2를 넣어 f(3)+f(−1)=0(합)을 만든다. 정적분 (나)는 f(3)−f(−1)=12(차)를 준다. 합과 차를 연립하면 f(3)=6, f(−1)=−6이 즉시 나오고, 이 두 값으로 a, b를 정한 뒤 f(4)를 구한다.
실수 포인트 ① : f(1+x)+f(1−x)=0을 어떻게 쓸지 몰라 방황하는 실수. x=0(→f(1)=0), x=2(→f(3)+f(−1)=0)처럼 값을 대입해 방정식으로 바꾸는 게 정석이다.
실수 포인트 ② : ∫−13f'(x)dx를 f’을 세워 직접 적분하려는 실수. f(3)−f(−1)로 바로 읽어라.
실수 포인트 ③ : 마지막 계산에서 f(x)=x(x−1)(x−2)를 얻고도 f(4)를 잘못 대입하는 실수. f(4)=4·3·2=24.
정답 : ① 24