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기함수는 홀수차항만 산다. 최고차 계수 1인 삼차함수가 기함수라면 x²항과 상수항은 모두 0이라 f(x)=x³+ax 딱 한 문자로 압축된다. 미정계수를 a 하나로 줄이는 게 출발.
◀ 기함수엔 x²·상수 같은 짝수차항이 없다
x·f(x)=x(x³+ax)=x⁴+ax²는 모두 짝수차, 즉 우함수다. 대칭구간 [−1,1]의 우함수 적분은 2∫01로 접어 계산량이 절반. 2(1/5 + a/3)=12/5 → 1/5+a/3=6/5 → a=3.
◀ 홀×홀=짝(우함수), 대칭구간은 2배로 접어라
f(x)=x³+3x로 확정. 구하는 것은 ∫02(대칭구간 아님)이라 우·기함수 성질을 쓸 수 없다. 그냥 적분하면 [x⁴/4 + 3x²/2]02 = 4+6 = 10.
◀ 대칭이면 홀짝, 비대칭이면 정직하게 적분
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (가)로 f를 x³+ax 한 문자로 압축하고, 조건 (나)의 대칭구간 정적분을 우함수 성질(2배 접기)로 계산해 a=3을 뽑는다. 마지막 ∫02는 대칭구간이 아니므로 성질을 버리고 정직하게 적분한다. ‘대칭이면 홀짝, 비대칭이면 정직’을 구분하는 게 핵심.
실수 포인트 ① : f(x)에 x²항이나 상수항을 남기는 실수. 기함수 삼차는 f(x)=x³+ax뿐이다.
실수 포인트 ② : ∫−11xf(x)dx의 피적분함수를 기함수로 착각해 0으로 처리하는 실수. x(홀)×f(홀)=우함수라 0이 아니라 2∫01이다.
실수 포인트 ③ : 마지막 ∫02에 우함수 2배 성질을 잘못 적용하는 실수. [0,2]는 대칭구간이 아니다. 그냥 적분해 4+6=10.
정답 : ② 10