문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
곱의 미분 (gf)’=g’f+gf’에서 g=x³이면 g’=3x². 즉 3x²f(x)+x³f'(x)=(x³f(x))’다. 두 정적분을 따로 계산하려 하지 말고 피적분함수부터 합쳐 하나의 도함수로 묶는 게 첫 수다. f(x)를 몰라도 풀린다.
◀ 3x²·f + x³·f’는 곱의 미분을 거꾸로 읽는 신호
묶고 나면 ∫−11(x³f(x))’dx = [x³f(x)]−11. 미적분의 기본정리로 도함수의 적분은 원함수 그대로 대입이다. = 1³·f(1) − (−1)³·f(−1).
◀ 도함수를 적분하면 원함수가 되돌아온다
= f(1) − (−1)³f(−1) = f(1) − (−1)·f(−1) = f(1)+f(−1)=18. 홀수 거듭제곱의 부호 하나가 답을 가른다. f(−1)=3을 넣으면 f(1)=18−3=15.
◀ 이 문제의 함정은 오직 (−1)³의 부호 하나
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 정적분을 각각 구하려 하면 f(x)를 모르니 막힌다. 피적분함수 3x²f(x)+x³f'(x)가 곱의 미분 (x³f(x))’의 전개형임을 알아채는 순간, 두 적분은 하나로 합쳐져 ∫(원함수)’가 되고 위·아래 대입만 남는다.
실수 포인트 ① : 두 정적분을 분리해 각각 계산하려다 f(x)가 없어 막히는 실수. 먼저 합쳐라.
실수 포인트 ② : [x³f(x)]−11에서 아래끝 대입을 1³f(1)−(−1)³f(−1)로 정확히 쓰지 않고 f(1)−f(−1)로 처리하는 부호 실수. (−1)³=−1이라 −(−1)f(−1)=+f(−1), 즉 f(1)+f(−1)이 맞다.
실수 포인트 ③ : f(1)+f(−1)=18까지 구해놓고 f(−1)=3을 빼는 걸 잊는 실수. f(1)=18−3=15.
정답 : 15