문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
그래프가 x=−1, x=1에서 극값을 가지므로 f′(−1)=f′(1)=0, 즉 f′(x)=a(x+1)(x−1). 그래프가 오른쪽으로 갈수록 아래로 내려가는(우하향) 삼차이므로 최고차 계수는 음수 → a<0. 개형이 부호를, 극점이 인수를 정해준다.
◀ 극점 = f′의 근, 개형 = 최고차의 부호
f(x)=∫a(x+1)(x−1)dx = a(x³/3−x)+C. 그래프에서 f(0)=−1 → C=−1, 극솟값 f(−1)=−3 → (2/3)a−1=−3 → a=−3. 따라서 f(x)=−x³+3x−1. 미지수 2개(a, C)는 그래프에서 읽히는 점 2개로 잡는다.
◀ 미지수 개수 = 그래프에서 읽을 점의 개수
∫−11(−x³+3x−1)dx에서 −x³과 3x는 홀함수라 대칭구간 적분값이 0. 살아남는 건 상수항뿐: ∫−11(−1)dx=−2. 대칭구간에선 짝수차항(과 상수)만 적분하면 되니 −x³, 3x는 눈으로 지운다.
◀ ∫−aa에서 홀수차항=0, 짝수차항만 살아남음
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 그래프만 주고 식을 안 주는 문제는 f′부터 세우는 게 정석이다. 극점 x=−1,1이 f′의 근이므로 f′(x)=a(x+1)(x−1), 우하향 개형이라 a<0. f′를 적분해 f를 복원하고, 그래프에서 읽히는 f(0)과 극값으로 a와 적분상수 C를 확정한다.
실수 포인트 ① : 극점을 f의 근으로 착각하는 실수. x=−1,1은 f=0이 아니라 f′=0인 점이다. 극점은 도함수의 근으로 써야 한다.
실수 포인트 ② : a의 부호를 놓치는 실수. 삼차함수 개형이 오른쪽에서 내려오면 최고차 음수다. 부호를 반대로 잡으면 극대·극소 위치가 뒤바뀐다.
실수 포인트 ③ : ∫−11(−x³+3x−1)dx를 항마다 힘들게 계산하다 부호를 틀리는 경우. 대칭구간에서 −x³, 3x는 홀함수라 0. 상수항 −1만 적분해 −2로 끝내면 계산이 반으로 준다.
정답 : ④ (−2)