📌 단원 분석 — 평면좌표 · 점의 자취의 방정식
「평면좌표」는 수능 수학에서 도형과 방정식 전 단원을 관통하는 기초 도구입니다. 특히 본 유형인 「점의 자취의 방정식」은 다음과 같은 흐름으로 고난도 문항에 연결됩니다.
- ① 매개변수 처리 → 움직이는 점의 좌표를 문자(p, q)로 설정 후 조건식 세우기
- ② 도형의 방정식 전반 → 원의 방정식·직선의 방정식과 자연스럽게 연결
- ③ 무게중심·내분점·외분점의 좌표공식이 자취의 출발점이 되는 경우가 매우 많음
즉, 본 문제는 “움직이는 점을 문자로 두고, 조건에 대입하여 자취의 방정식을 유도”하는 자취 문제의 기본 패턴을 익히는 핵심 유형이며, 이후 원의 자취·아폴로니우스 원 등 고난도로 확장됩니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심맥락
출제의도 : 한 꼭짓점이 직선 위를 움직일 때, 삼각형의 무게중심이 그리는 자취가 또 다른 직선임을 이해하고, 자취의 방정식을 유도할 수 있는가를 묻는 문항입니다.
풀이 3단계 맥락 :
- STEP A. 점 A의 좌표를 (p, q)로 놓고, 점 A가 직선 y=2x+1 위에 있다는 조건에서 q = 2p + 1 확보
- STEP B. 무게중심 공식으로 G(x, y)를 (p, q)로 표현 → 역으로 p = 3x+3, q = 3y−2
- STEP C. ㉡을 ㉠에 대입하여 x, y 관계식 도출 → 2x − y + 3 = 0
따라서 a = 2, b = 3 이므로 a + b = 5 (정답 ⑤)
🔑 문제풀이 핵심 키워드 (클릭 시 개념 이동)
- ▸ 삼각형의 무게중심 좌표 공식 — G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
- ▸ 내분점·외분점의 좌표 — 자취 문제의 핵심 도구
- ▸ 점의 자취의 방정식 — 기본 유형 — 움직이는 점을 (p, q)로 두는 매개변수 기법
🎬 해설 동영상
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