📌 핵심 공식 — 삼각형의 무게중심
세 꼭짓점이 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)인 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
G = ( (x₁ + x₂ + x₃) / 3 , (y₁ + y₂ + y₃) / 3 )
즉 세 꼭짓점의 x좌표 평균, y좌표 평균입니다. (분모는 항상 3 — 중점과 혼동 주의)
⚡ 자취(도형의 방정식) 응용 — 한 꼭짓점이 어떤 직선 위를 움직일 때, 무게중심 G가 그리는 도형은 다음 3단계로 구합니다.
① 움직이는 점을 미지수 1개로 설정 → ② 무게중심 G의 좌표를 (X, Y)로 두고 식 세우기 → ③ 매개변수를 소거하여 X, Y의 관계식 도출.
아래 문제로 세 꼭짓점 좌표 → 무게중심 계산의 기본기를 다진 뒤, 움직이는 점 → 무게중심의 자취까지 이어가 보세요. 끝까지 남기는 건 X, Y이고, 매개변수는 반드시 소거합니다.
기본형 — 무게중심 좌표 구하기
기본 1. 세 점 A(2, 3), B(4, −1), C(0, 4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 구하여라.
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y좌표: (3 + (−1) + 4) / 3 = 6 / 3 = 2
따라서 무게중심 G = (2, 2)
기본 2. 세 점 A(−3, 5), B(1, −2), C(5, 3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 구하여라.
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y좌표: (5 + (−2) + 3) / 3 = 6 / 3 = 2
따라서 무게중심 G = (1, 2)
기본 3. 삼각형 ABC의 두 꼭짓점이 A(1, 4), B(−2, −3)이고 무게중심이 G(2, 1)일 때, 나머지 꼭짓점 C의 좌표를 구하여라.
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x좌표: (1 + (−2) + a) / 3 = 2 ⟹ −1 + a = 6 ⟹ a = 7
y좌표: (4 + (−3) + b) / 3 = 1 ⟹ 1 + b = 3 ⟹ b = 2
따라서 C = (7, 2)
▷ 무게중심이 주어지면 세 좌표의 합 = 3G 임을 이용해 역으로 미지의 꼭짓점을 구합니다.
응용형 — 무게중심의 자취(도형의 방정식)
응용 1. 점 P가 직선 y = x + 2 위를 움직인다. 두 점 B(1, 0), C(−4, 3)과 점 P를 꼭짓점으로 하는 삼각형 PBC의 무게중심 G가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.
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② 무게중심 G(X, Y)의 식 세우기
X = (t + 1 + (−4)) / 3 = (t − 3) / 3
Y = ((t + 2) + 0 + 3) / 3 = (t + 5) / 3
③ 매개변수 t 소거
3X = t − 3 ⟹ t = 3X + 3
3Y = t + 5 ⟹ t = 3Y − 5
3X + 3 = 3Y − 5 ⟹ 3Y − 3X = 8
따라서 무게중심 G가 나타내는 도형의 방정식은 y = x + 8/3
▷ 움직이는 점이 직선 위를 움직이면 무게중심도 같은 기울기의 직선을 그립니다(여기서는 기울기 1).
응용 2. 점 A가 직선 y = 2x − 1 위를 움직인다. 두 점 B(0, 3), C(3, −2)와 점 A를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.
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② 무게중심 G(X, Y)의 식 세우기
X = (t + 0 + 3) / 3 = (t + 3) / 3
Y = ((2t − 1) + 3 + (−2)) / 3 = 2t / 3
③ 매개변수 t 소거
3X = t + 3 ⟹ t = 3X − 3
3Y = 2t ⟹ t = 3Y / 2
3X − 3 = 3Y / 2 ⟹ (양변 ×2) 6X − 6 = 3Y
따라서 무게중심 G가 나타내는 도형의 방정식은 y = 2x − 2
▷ A의 직선 기울기가 2이므로 무게중심의 자취도 기울기 2의 직선이 됩니다.
⚠ 자주 나오는 실수
- 분모를 2로 쓰기 — 무게중심은 세 좌표의 합을 3으로 나눕니다. 분모 2는 두 점의 중점 공식입니다.
- 자취의 대상 혼동 — 구하는 것은 움직이는 점이 아니라 무게중심 G(X, Y)의 자취입니다. G의 좌표를 X, Y로 두고 시작하세요.
- 매개변수 t를 끝까지 남기기 — X, Y 두 식에서 t를 각각 정리해 t를 소거해야 X, Y의 관계식(=도형의 방정식)이 나옵니다.
- 부호·괄호 처리 실수 — 음수 좌표를 더할 때 (5 + (−2) + 3)처럼 괄호로 묶어 부호를 놓치지 않도록 합니다.