📌 평면좌표 ‘두 점 사이의 거리’, 수능 고득점에서 차지하는 위치
평면좌표 단원의 두 점 사이의 거리 공식은 수능 수학에서 도형 영역 전체의 출발점이자 핵심 도구입니다. 이 공식 하나가 원의 방정식(중심과 점 사이 거리, 반지름), 점과 직선 사이의 거리, 도형의 넓이, 자취의 방정식까지 폭넓게 연결됩니다.
특히 이 문항처럼 ‘거리 ≤ 상수’ 형태의 부등식 조건과 결합되면, 거리 계산 능력뿐 아니라 이차부등식 풀이 능력까지 동시에 요구됩니다. 고득점을 노린다면 단순히 거리를 ‘계산’하는 단계를 넘어, 거리 조건을 부등식·방정식으로 번역하고 범위와 정수 개수를 따지는 사고로 확장하는 연습이 필요합니다.
✏️ 출제의도 & 문제풀이 핵심 맥락
이 문제는 두 점 사이의 거리 공식을 부등식 조건에 적용할 수 있는지를 평가합니다. 핵심 풀이 흐름은 다음과 같습니다.
- 거리 조건 AB ≤ 4 → 양변을 제곱하여 무리식 제거(AB² ≤ 16)
- 두 점 사이의 거리 공식 대입 → (a−2)² + (6−a)² ≤ 16
- 전개·정리 → 이차부등식 a²−8a+12 ≤ 0
- 인수분해 → (a−2)(a−6) ≤ 0 → 2 ≤ a ≤ 6
- 범위 안의 정수 개수를 빠짐없이 세기 → 2, 3, 4, 5, 6 → 5개
실수 포인트는 두 가지입니다. ① 루트가 포함된 부등식은 양변이 음이 아니므로 제곱해도 부등호 방향이 유지된다는 점, ② ‘이하(≤)’ 조건이므로 경계값(등호)을 포함하여 양 끝 정수를 빠뜨리지 않는다는 점입니다.
🔑 문제풀이에 필요한 핵심 개념
이 문항을 풀기 위해 단원 안팎에서 함께 짚어야 할 개념입니다.
- 두 점 사이의 거리 공식 — 본 단원 핵심 도구
- 이차부등식의 풀이 — (a−2)(a−6) ≤ 0 형태로 정리·부호 판별 (방정식과 부등식 단원)
- 인수분해 / 곱셈공식 — a²−8a+12 의 정리 과정에 필요
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