“
원과 직선의 현의 길이가 주어졌을 때, 원의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 원의 중심 C와 주어진 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 현 AB의 길이가 4이므로, 현의 길이의 절반은 2입니다.
4. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 에 모든 값을 대입하면 k에 대한 간단한 방정식을 얻을 수 있습니다.
주의할 점:
394번 문제와 거의 동일한 구조입니다. 미지수가 반지름에 포함되어 있을 뿐, 풀이 원리는 같습니다.
”
현의 길이와 원의 미정계수
“
원이 x축에 접하고, y축에 의해 잘린 현의 길이가 주어졌을 때, 원의 중심과 원점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제1사분면에 있고 x축에 접하므로, 중심을 (a, r), 반지름을 r로 설정할 수 있습니다.
2. y축에 의해 잘린 현의 길이가 4이므로, 현의 길이의 절반은 2입니다.
3. 원의 중심에서 y축까지의 거리는 a입니다.
4. 피타고라스 정리를 적용합니다: (현/2)² + (중심과 y축 사이 거리)² = r². 즉, 2² + a² = r² 입니다.
5. 또한 ‘기울기가 2인 직선’이 원과 점 S에서 만나는 조건을 활용해야 합니다. (문제 해석이 복잡하여 해설의 흐름을 따름)
주의할 점:
x축 접촉 조건과 y축에 의해 잘린 현의 길이를 각각 식으로 표현하고 연립하는 것이 정석적인 풀이입니다. 문제의 조건이 복잡하게 얽혀있어 주의가 필요합니다.
”
x축 접촉과 y축 현의 길이
“
두 원의 공통현의 길이를 구하는 대표적인 문제입니다.
접근법:
1. (공통현 방정식) 먼저 두 원의 방정식을 빼서 공통현(직선 PQ)의 방정식을 구합니다.
2. (한 원 선택) 두 원 중 계산이 더 간단한 원을 하나 선택하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
3. (점과 직선 사이 거리) 선택한 원의 중심 C에서 공통현 직선까지의 거리 d를 구합니다.
4. (피타고라스 정리) 원의 중심, 현의 중점, 현의 한 끝점은 직각삼각형을 이룹니다. **(현의 길이/2)² + d² = r²** 관계를 이용해 현의 길이를 구합니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 직접 구하는 공식은 없습니다. 반드시 (1)공통현 방정식 구하기 (2)중심과 현 사이 거리 구하기 (3)피타고라스 정리 적용하기, 3단계를 거쳐야 합니다.
”
두 원의 공통현의 길이 구하기
“
원과 직선이 만나서 생기는 활꼴의 넓이를 구하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문제입니다.
접근법:
1. 활꼴의 넓이는 **(부채꼴의 넓이) – (삼각형의 넓이)** 로 구합니다.
2. (가), (나): 먼저 삼각형 OAB의 넓이를 구해야 합니다. 이를 위해 밑변 AB의 길이와 높이 OH가 필요합니다. OH는 원점과 직선 사이의 거리이므로 (가)를 채울 수 있습니다. 피타고라스 정리로 AH를 구하면 AB 길이를 알 수 있고, (나)를 채울 수 있습니다.
3. (다): 부채꼴 OAB의 넓이를 구하려면 중심각의 크기가 필요합니다. 삼각형 OAH가 특수각을 갖는 직각삼각형임을 이용하여 중심각을 구하고, 부채꼴의 넓이를 계산하여 (다)를 채웁니다.
주의할 점:
활꼴의 넓이를 구하는 정석적인 과정을 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 점과 직선 사이의 거리, 피타고라스 정리, 부채꼴 넓이 공식 등 여러 개념이 사용됩니다.
”
원과 직선으로 만들어진 활꼴의 넓이
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두 원의 공통현의 중점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 공통현의 중점은 (1)공통현(직선) 위에 있고, (2)두 원의 중심을 잇는 직선 위에도 있습니다.
2. 따라서 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구하고, 이 두 중심을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 찾으면, 그 점이 바로 공통현의 중점입니다.
주의할 점:
공통현의 중점이 두 원의 중심을 잇는 선분 위에 있다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 공통현의 중점 좌표
“
원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 길이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
2. 원 밖의 점 A와 원의 중심 C를 잇는 선분 AC의 길이를 구합니다. 이 선분이 직각삼각형의 빗변이 됩니다.
3. 접점 P, 중심 C, 원 밖의 점 A는 직각삼각형을 이룹니다. (각 C P A = 90°)
4. **피타고라스 정리 (AP² + CP² = AC²)** 를 이용해 접선의 길이 AP를 구합니다.
주의할 점:
(원 밖의 점-중심 거리)² = (반지름)² + (접선 길이)² 라는 관계를 명확히 인지하고 있어야 합니다.
”
원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이
“
두 원의 공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (밑변) 먼저 두 원의 공통현 AB의 길이를 구합니다. (381번 문제 참고)
2. (높이) 삼각형 O’AB의 높이는 원 C₂의 중심 O’에서 공통현 AB까지의 거리입니다. 이 거리는 공통현 길이를 구하는 과정에서 이미 계산됩니다.
3. (넓이) 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 구하는 과정에서 필요한 모든 요소(밑변의 절반, 높이)가 삼각형 넓이를 구하는 데 그대로 사용됩니다.
”
공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 관련된 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 사각형 PACB는 두 개의 합동인 직각삼각형(PAC와 PBC)으로 이루어져 있습니다.
2. 따라서 **직각삼각형 PAC의 넓이를 구해 2배** 하면 됩니다.
3. 직각삼각형 PAC의 넓이를 구하기 위해, 밑변(접선 AP)과 높이(반지름 AC)의 길이가 필요합니다.
4. 398번 문제와 동일한 방법으로 피타고라스 정리를 이용해 접선의 길이 AP를 먼저 구합니다.
5. 삼각형의 넓이 = 1/2 * AP * AC 를 계산하고, 2를 곱하여 사각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 항상 같다는 성질을 이용하면, 두 삼각형이 합동임을 쉽게 알 수 있습니다.
”
접선과 반지름으로 만든 사각형의 넓이
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두 원의 교점을 지나는 원 중에서 넓이가 최소인 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 무수히 많은 원들 중에서 넓이가 최소가 되는 원은, 두 교점을 잇는 공통현을 지름으로 하는 원입니다.
2. 따라서, 이 문제의 목표는 **공통현의 길이**를 구하는 것입니다.
3. 381번 문제와 동일한 방법으로 공통현의 길이를 구합니다. 이 길이가 새로운 원의 지름이 됩니다.
4. 지름을 이용해 반지름을 구하고, 최소 원의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
‘넓이가 최소인 원’이라는 표현이 ‘공통현을 지름으로 하는 원’을 의미한다는 것을 반드시 기억해야 합니다.
”
교점을 지나는 원 중 넓이가 최소인 원
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원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이가 주어졌을 때, 점의 좌표에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 398번 문제의 역순으로 진행합니다.
2. 원의 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
3. 직각삼각형 PCQ에서, 접선의 길이 PQ(주어짐)와 반지름 CQ(r)를 알고 있으므로, 피타고라스 정리를 이용해 빗변 PC의 길이를 구할 수 있습니다.
4. 빗변 PC의 길이는 원 밖의 점 P(-2,a)와 중심 C 사이의 거리와도 같습니다. 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 PC의 길이를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 3단계와 4단계에서 구한 두 PC의 길이가 같다고 등식을 세워 a에 대한 이차방정식을 풉니다.
주의할 점:
접선의 길이를 구하는 피타고라스 정리 관계를 역으로 활용하는 문제입니다. 최댓값, 최솟값을 묻고 있으므로 두 개의 해를 모두 고려해야 합니다.
”
접선의 길이가 주어졌을 때 점의 좌표
