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공통 외접선의 길이가 주어졌을 때, 한 원의 반지름을 구하는 문제입니다. 404번 문제의 역산 과정입니다.
접근법:
1. 두 원의 중심과 반지름 정보를 정리합니다. (한쪽 반지름은 미지수 r)
2. 404번과 같이, 보조선을 그어 직각삼각형을 만듭니다.
3. 빗변은 ‘두 중심 사이의 거리’, 높이는 ‘반지름의 차’, 밑변은 ‘공통접선의 길이(주어짐)’가 됩니다.
4. 피타고라스 정리에 이 값들을 대입하여 r에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
공통접선 길이를 구하는 문제의 핵심이 ‘보조선을 이용한 직각삼각형 만들기’에 있음을 이해하고, 이를 역으로 적용할 수 있어야 합니다.
”
공통 외접선 길이로 반지름 구하기
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원과 직선이 한 점에서 만날(접할) 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선이 접하려면, **원의 중심에서 직선까지의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야** 합니다.
2. 주어진 원의 방정식에서 중심의 좌표와 반지름의 길이(√k)를 찾습니다.
3. 원의 중심과 주어진 직선 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
4. 3단계에서 구한 거리가 2단계에서 구한 반지름의 길이와 같다고 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
원과 직선의 위치 관계는 ‘중심과 직선 사이의 거리(d)’와 ‘반지름(r)’의 대소 관계로 판단하는 것이 가장 효율적입니다. (d=r: 접한다, dr: 만나지 않는다)
”
원과 직선이 접할 조건 (d=r)
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원과 직선이 접할 때, 미지수 k와 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심(0,0)과 직선 2x-y+k=0 사이의 거리가 반지름(√5)과 같다는 조건을 이용해 양수 k값을 먼저 구합니다.
2. k값이 정해지면 접선의 방정식이 완성됩니다.
3. 접점은 원과 이 접선의 유일한 교점입니다. 두 방정식을 연립하여 교점의 좌표(a,b)를 찾습니다. (대입하여 이차방정식을 풀면 중근이 나옵니다.)
4. 구한 k, a, b 값을 더합니다.
주의할 점:
접점은 원의 중심에서 접선에 내린 ‘수선의 발’과도 같습니다. 이를 이용해 수선의 발을 구하는 방법으로 접점을 찾을 수도 있습니다.
”
접할 때의 미지수와 접점의 좌표
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x축에 접하는 원이 다른 직선에도 접할 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 (2,3)이고 x축에 접하므로, 반지름의 길이는 **|중심의 y좌표| = 3** 이 됩니다. 이제 원의 방정식이 완성됩니다.
2. 이 원이 직선 2x-y+k=0 에도 접하므로, 원의 중심(2,3)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 3과 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀어 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
첫 번째 조건(x축에 접함)을 이용해 원의 반지름을 먼저 확정하고, 두 번째 조건(다른 직선에 접함)을 이용해 미지수를 푸는 단계적인 접근이 필요합니다.
”
x축에 접하는 원이 다른 직선에 접할 조건
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x축, y축, 그리고 다른 한 직선에 동시에 접하는 원의 방정식을 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제4사분면에 있고 x, y축에 동시에 접하므로, 중심의 좌표를 (r, -r) (r>0) 로 설정할 수 있으며, 반지름 또한 r입니다.
2. 이 원은 세 번째 직선(4x-3y-4=0)과도 접해야 합니다.
3. 따라서 원의 중심 (r, -r)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 r과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 r에 대한 절댓값 방정식이 되며, 풀면 두 개의 r값이 나옵니다.
5. 두 원의 넓이는 각각 πr² 이므로, 두 넓이의 합을 구합니다.
주의할 점:
세 직선에 동시에 접하는 원은 일반적으로 4개가 존재할 수 있습니다. 문제에서 주어진 사분면 조건을 통해 경우의 수를 줄여야 합니다.
”
x,y축과 다른 직선에 동시 접하는 원
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x축과 다른 한 직선에 동시에 접하고, 특정 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a,b)라 하면, x축에 접하므로 반지름은 |b|입니다.
2. 이 원이 점 (3,0)을 지나면서 x축에 접하므로, 이 점이 바로 **접점**이 됩니다. 따라서 중심의 x좌표는 3입니다. 중심은 (3,b)가 되고 반지름은 |b|입니다.
3. 원의 중심 (3,b)와 직선 4x-3y+12=0 사이의 거리 또한 반지름 |b|와 같아야 합니다.
4. 이 조건을 이용해 b에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 b값을 찾습니다.
주의할 점:
주어진 점 (3,0)이 x축 위의 점이므로, 이 점이 접점이 된다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 지름길입니다.
”
x축과 다른 직선에 동시 접촉과 접점
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평행한 두 직선에 동시에 접하고, 중심이 다른 직선 위에 있는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 평행한 두 직선에 동시에 접하는 원의 지름은, 두 직선 사이의 거리와 같습니다. **평행한 두 직선 사이의 거리**를 구해 지름과 반지름을 먼저 확정합니다.
2. 원의 중심은 두 평행한 직선의 **정중앙에 위치한 평행선** 위에 있습니다.
3. 원의 중심은 또한, 문제에서 주어진 직선 y=3x 위에도 있습니다.
4. 따라서 원의 중심은 2번과 3번 직선의 교점이 됩니다. 두 직선을 연립하여 중심 좌표를 구합니다.
5. 중심 (a,b)와 반지름의 제곱(c)을 모두 구하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
평행한 두 접선이 주어졌을 때, 원의 지름과 중심의 위치를 바로 파악할 수 있어야 합니다.
”
평행한 두 직선에 동시에 접하는 원
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원과 직선이 접할 때의 기하학적 성질을 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (f(-5)f(5) 값) 점 A(-5, f(-5))와 B(5, f(5))는 직선 위의 점입니다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 이 성질을 활용하여 보조선을 그어 직각삼각형을 만들고 피타고라스 정리를 적용하면, f(-5)f(5)의 값을 구할 수 있습니다.
2. 이 풀이는 매우 복잡하므로, 다른 해석이 필요합니다. 접선 위의 점(x,y)에서 원점까지의 거리를 d, 접점까지의 거리를 t라 하면 d²=t²-r² 같은 관계가 성립합니다. 이 문제의 핵심은 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다’ 입니다. (해설의 접근법이 더 효율적입니다.)
주의할 점:
해설에서는 접선의 방정식을 y=ax+b로 설정하고, 원점과의 거리가 반지름과 같다는 조건(|b|/√(a²+1) = 5)을 이용해 b²-25a²=25라는 관계를 유도합니다. f(-5)f(5)는 (b-5a)(b+5a) = b²-25a² 이므로 답이 25가 됩니다.
”
접선의 방정식을 이용한 값 추론
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넓이가 최소인 원이 직선과 만날 때의 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 원점이고 직선 y=-2x+k와 만나는 원 중에서 넓이가 최소이려면, 반지름이 최소여야 합니다.
2. 반지름이 최소가 되는 경우는, 원이 직선에 **접할 때**입니다.
3. 이때의 반지름은 **원점과 직선 사이의 거리**와 같습니다.
4. 문제에서 최소 넓이가 45π 라고 주어졌으므로, 반지름의 제곱이 45, 즉 반지름은 3√5 입니다.
5. 원점과 직선 2x+y-k=0 사이의 거리가 3√5 라는 등식을 세워 양수 k값을 구합니다.
주의할 점:
‘만나는 원 중 넓이가 최소’라는 표현을 ‘접하는 원’으로 해석하는 것이 핵심입니다.
”
만나는 원 중 넓이가 최소인 원
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두 원의 공통현의 중점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 공통현의 중점은 (1)공통현(직선) 위에 있고, (2)두 원의 중심을 잇는 직선 위에도 있습니다.
2. 따라서 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구하고, 이 두 중심을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 찾으면, 그 점이 바로 공통현의 중점입니다.
주의할 점:
공통현의 중점이 두 원의 중심을 잇는 선분 위에 있다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 공통현의 중점 좌표
