“
공통현의 길이가 특정 값으로 주어졌을 때, 원의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 공통현의 길이가 2√10 이므로, 현의 길이의 절반은 √10 입니다.
2. 두 원 중 정보가 완전한 원(x²+y²-6x-6y=0)의 중심 C’와 반지름 r’을 구합니다.
3. 두 원의 공통현의 방정식을 미지수 k를 포함한 식으로 구합니다.
4. 원의 중심 C’와 공통현 사이의 거리 d를 구합니다.
5. 피타고라스 정리 **(현의 길이/2)² + d² = r’²** 에 모든 값을 대입하면, k에 대한 절댓값 방정식을 풀 수 있습니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 구하는 과정을 역순으로 진행하는 문제입니다. 피타고라스 정리를 이용한 관계식이 핵심적인 역할을 합니다.
”
공통현의 길이가 주어졌을 때 미지수
“
공통현의 길이가 최대가 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원이 만날 때, 공통현의 길이는 **작은 원의 지름**보다 길어질 수 없습니다.
2. 따라서 공통현의 길이가 최대가 될 때는, **작은 원의 중심이 공통현 위에 있을 때**이며, 이때 공통현은 작은 원의 지름이 됩니다.
3. 두 원의 공통현의 방정식을 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
4. 작은 원(반지름 2)의 중심 (a,0)이 이 공통현 위에 있어야 하므로, 좌표를 대입하여 a에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
‘공통현의 길이 최대’라는 조건이 ‘작은 원의 중심이 공통현 위에 있다’는 조건으로 변환된다는 것을 이해하는 것이 중요합니다.
”
공통현의 길이가 최대가 될 조건
“
원과 직선이 만나서 생기는 현의 길이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
2. 원의 중심 C와 주어진 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 원의 중심, 현의 중점, 현의 한 끝점은 직각삼각형을 이룹니다. **피타고라스 정리 (현의 길이/2)² + d² = r²** 를 이용합니다.
4. 이 관계식을 이용해 현의 길이의 절반을 구하고, 2를 곱하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
381번(공통현) 문제와 풀이의 마지막 단계(피타고라스 정리)는 완전히 동일합니다. 현의 길이는 항상 중심과의 거리를 이용해 구한다는 점을 기억하세요.
”
원과 직선이 만나는 현의 길이
“
현의 길이가 특정 값으로 주어졌을 때, 직선의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
2. 현 AB의 길이가 4√2 이므로, 현의 길이의 절반은 2√2 입니다.
3. 피타고라스 정리를 이용해, 원의 중심 C와 현(직선) 사이의 거리 d를 먼저 구합니다.
4. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해, 중심 C와 직선 y=x+k 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 4단계에서 구한 식이 3단계에서 구한 거리 d와 같다고 놓고, k에 대한 절댓값 방정식을 풀어 답을 찾습니다.
주의할 점:
현의 길이를 구하는 과정을 역순으로 진행하는 문제입니다. 현의 길이를 통해 중심과 직선 사이의 거리를 먼저 알아내는 것이 핵심입니다.
”
현의 길이가 주어졌을 때 미지수 k값
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원의 내부의 한 점을 지나는 현 중에서, 그 길이가 자연수인 현의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저, 주어진 점 A를 지나는 현 중에서 **가장 긴 현(지름)**과 **가장 짧은 현**의 길이를 구해야 합니다.
2. (최대 길이) 가장 긴 현은 원의 지름입니다.
3. (최소 길이) 가장 짧은 현은 점 A를 지나면서 지름에 수직인 현입니다. 피타고라스 정리를 이용해 길이를 구합니다. (원의 중심과 점 A 사이의 거리를 이용)
4. 이제 현의 길이는 [최소 길이] ≤ (길이) ≤ [최대 길이] 범위에 있습니다.
5. 이 범위 안에 있는 자연수 길이를 모두 찾고, 각 길이에 해당하는 현이 몇 개씩 존재하는지 세어봅니다. (지름과 가장 짧은 현은 1개씩, 그 사이 길이는 2개씩 존재)
주의할 점:
길이의 범위를 찾는 것에서 끝나지 않고, 각 길이에 해당하는 현의 개수가 다르다는 점을 고려해야 정확한 답을 구할 수 있습니다.
”
내부의 점을 지나는 현의 자연수 길이
“
원과 직선의 두 교점과 원의 중심으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC에서 변 AB를 밑변으로 생각합니다. 밑변의 길이는 원과 직선이 만나는 현의 길이입니다.
2. 387번 문제와 동일한 방법으로 현 AB의 길이를 구합니다.
3. 삼각형의 높이는 원의 중심 C에서 현 AB(직선)까지의 거리입니다. 이 거리는 현의 길이를 구하는 과정에서 이미 계산됩니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이 CH) 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
이 삼각형은 반지름을 두 변으로 하는 이등변삼각형입니다. 현의 길이를 구하는 과정 자체가 삼각형의 넓이를 구하는 과정과 거의 동일합니다.
”
교점과 중심으로 만든 삼각형의 넓이
“
삼각형의 넓이가 주어졌을 때, 원의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다. 390번의 역산 과정입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C의 좌표를 구합니다. 중심과 직선 사이의 거리 d를 계산합니다.
2. 삼각형의 높이는 이 거리 d와 같습니다.
3. 삼각형의 넓이가 주어졌으므로, 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이 d) 공식을 이용해 밑변 AB(현의 길이)를 구할 수 있습니다.
4. 이제 현의 길이의 절반과 거리 d, 그리고 반지름 r 사이의 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 을 이용합니다.
5. 반지름 r의 제곱은 표준형 변환 과정에서 미지수 k를 포함한 식이므로, 이 등식을 통해 k값을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
넓이 -> 밑변(현) 길이 -> 피타고라스 정리 -> 반지름 -> 미지수 순서로 역추적해나가는 문제입니다.
”
삼각형 넓이가 주어졌을 때 미지수
“
두 원의 교점을 지름의 양 끝점으로 하는, 즉 공통현을 지름으로 하는 원의 넓이를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 이는 ‘두 원의 교점을 지나는 원 중 넓이가 최소인 원’을 찾는 384번 문제와 동일합니다.
2. 목표는 공통현의 길이를 구하는 것입니다.
3. (1) 공통현 방정식 구하기 (두 원의 방정식을 뺀다)
4. (2) 한 원의 중심에서 공통현까지 거리 d 구하기
5. (3) 피타고라스 정리를 이용해 공통현 길이의 절반, 즉 새로운 원의 반지름을 구한다.
6. 구한 반지름으로 원의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
최소 넓이 원의 반지름은 공통현 길이의 ‘절반’이라는 점을 잊지 말아야 합니다.
”
공통현을 지름으로 하는 원의 넓이
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원과 직선의 교점으로 만들어지는 삼각형이 정삼각형이 될 때, 직선의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 CPQ가 정삼각형이므로, 세 변의 길이는 모두 원의 반지름 r과 같습니다. 즉, 현 PQ의 길이가 반지름 r과 같습니다.
2. 원의 중심 C와 현 PQ 사이의 거리 d, 현 길이의 절반(r/2), 그리고 반지름 r은 직각삼각형을 이룹니다.
3. 피타고라스 정리를 이용해 d² + (r/2)² = r² 에서, 거리 d를 반지름 r로 표현할 수 있습니다. (d = (√3/2)r)
4. 원의 중심 C와 직선 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
5. 3단계와 4단계에서 구한 두 거리 값이 같다고 등식을 세워 미지수 m을 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 기하학적 성질을 이용해 ‘중심과 현 사이의 거리’를 반지름에 대한 식으로 나타내는 것이 핵심입니다.
”
교점으로 만든 정삼각형의 조건
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삼각형의 내접원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 세 변의 길이를 구합니다. 이 삼각형은 정삼각형임을 알 수 있습니다.
2. 정삼각형은 외심, 내심, 무게중심이 모두 일치합니다.
3. 따라서 내심(원의 중심)의 좌표는 무게중심 공식을 이용해 쉽게 구할 수 있습니다.
4. 내접원의 반지름은, 정삼각형 높이의 1/3 입니다. 높이를 구해 반지름을 찾습니다. (또는, 중심과 한 변 사이의 거리를 구해도 됩니다.)
5. 중심과 반지름으로 원의 방정식을 완성합니다.
주의할 점:
주어진 삼각형이 어떤 종류인지 먼저 파악하는 것이 중요합니다. 정삼각형이나 직각삼각형 같은 특수한 삼각형은 내심이나 외심을 더 쉽게 구할 수 있는 성질이 있습니다.
”
정삼각형의 내접원의 방정식
