“
두 점을 각각 대칭이동과 평행이동 시킨 후, 두 점을 잇는 직선과 또 다른 직선이 수직이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y축에 대칭이동한 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 점 B를 y축 방향으로 -5만큼 평행이동한 점 Q의 좌표를 k를 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 직선 BP와 PQ가 서로 수직이므로, **두 직선의 기울기의 곱이 -1** 입니다.
4. 직선 BP의 기울기와 직선 PQ의 기울기를 각각 구합니다.
5. 두 기울기의 곱이 -1이라는 등식을 세우면 k에 대한 이차방정식이 나오며, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 k값의 곱을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건을 이용해 기울기에 대한 방정식을 세우는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
이동 후 두 직선의 수직 조건
“
직선의 평행이동과 대칭이동의 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 평행이동은 직선의 기울기를 변화시키지 않습니다. 따라서 두 직선의 기울기는 항상 같습니다.
2. (보기 ㄴ) 직선을 y축에 대해 대칭이동(x→-x)한 후, 두 직선의 기울기를 구해 곱이 -1이 되는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) 직선을 원점에 대해 대칭이동(x→-x, y→-y)한 후, 두 직선이 평행한지(기울기는 같고 y절편은 다른지) 확인합니다.
주의할 점:
각 이동이 직선의 기울기와 y절편에 어떤 영향을 미치는지 기하학적으로 이해하고 있으면 빠르게 판단할 수 있습니다.
”
직선 이동의 기본 성질 판별
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주어진 직선을 다른 직선으로 옮길 수 있는 평행이동과 대칭이동의 조합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선은 서로 평행합니다. 따라서 대칭이동 없이 평행이동만으로 옮길 수 있습니다.
2. 각 보기의 이동 규칙을 원래 직선(x+2y-6=0)에 적용해보고, 그 결과가 목표 직선(x+2y+4=0)과 일치하는지 확인합니다.
3. (평행이동) x 대신 (x-a), y 대신 (y-b)를 대입합니다.
4. (대칭이동) 원점 대칭은 x→-x, y→-y를 대입합니다.
주의할 점:
여러 가지 이동 방법이 가능할 수 있으므로, 모든 보기를 하나씩 점검해야 합니다.
”
두 직선을 옮기는 이동 규칙 찾기
“
연속적인 이동(평행, 대칭)을 거친 직선이 특정 점을 지날 때, 원래 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2,0)을 지나고 기울기가 m인 직선 l의 방정식을 세웁니다.
2. 1단계의 직선을 주어진 순서(y축 평행이동 → x축 대칭이동)에 따라 변환하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
3. 이 최종 직선이 점 (1,2)를 지나므로, 좌표를 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(y축 평행이동: y→y-a, x축 대칭이동: y→-y)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
연속 이동 후 특정 점을 지날 조건
“
연속적인 이동(대칭, 평행)을 거친 직선이 원과 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y=x에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축 방향으로 -2만큼 평행이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선이 원 x²+y²=a 와 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 √a와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세우고, a값을 구한 뒤 25a²을 계산합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙과 원의 접선 조건(d=r)을 모두 정확하게 적용해야 하는 종합 문제입니다.
”
연속 이동한 직선이 원에 접할 조건
“
연속적인 이동을 거친 직선이 두 원의 넓이를 동시에 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 y=mx+m+2 를 주어진 규칙에 따라 대칭이동, 평행이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선은 두 원의 넓이를 동시에 이등분하므로, **두 원의 중심을 모두 지나야** 합니다.
3. 각 원의 중심 좌표를 구합니다.
4. 두 중심의 좌표를 최종 직선의 방정식에 각각 대입하면 m과 a에 대한 두 개의 방정식을 얻을 수 있습니다.
5. 이 두 방정식을 연립하여 m과 a값을 구하고, 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
이동 규칙이 복잡하므로 최종 직선의 방정식을 정확히 구하는 것이 중요합니다. ‘넓이를 이등분한다’는 ‘중심을 지난다’로 해석합니다.
”
연속 이동한 직선이 두 원 넓이 동시 이등분
“
두 원의 넓이를 이등분하는 직선을 찾고, 그 직선을 연속적으로 이동시켜 다른 직선과 일치시키는 문제입니다.
접근법:
1. (원래 직선 찾기) 두 원의 넓이를 모두 이등분하는 직선은, 두 원의 중심을 모두 지나는 직선입니다. 두 중심의 좌표를 구해 직선의 방정식을 먼저 찾습니다.
2. (이동 적용) 1단계에서 구한 직선을 주어진 규칙(y축 대칭 → 평행이동)에 따라 이동시켜 최종 직선의 방정식을 구합니다.
3. 이 최종 직선이 y=-3x와 일치해야 하므로, 기울기와 y절편을 비교하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 역으로 생각할 수도 있습니다. y=-3x를 역방향으로 이동시켜 원래의 두 중심을 지나는 직선과 비교하는 방법도 가능합니다.
”
두 원 넓이 이등분 직선의 연속 이동
“
평행이동과 대칭이동을 거친 직선이 원과 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 x축 방향으로 a만큼 평행이동하고, 그 결과를 y=x에 대해 대칭이동하여 최종 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선 l이 주어진 원에 접하므로, 원의 중심 (-1,3)과 직선 l 사이의 거리가 반지름 √5와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 a에 대한 절댓값 방정식을 세우고, 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙을 순서대로 정확하게 적용하여 최종 직선의 방정식을 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
평행/대칭이동한 직선이 원에 접할 조건
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대칭이동과 평행이동을 통해 두 원의 중심이 y=x 대칭이 될 조건을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (원 C₁ 찾기) 원 C를 원점에 대해 대칭이동한 원 C₁의 중심 좌표를 구합니다.
2. (원 C₂ 찾기) 원 C를 평행이동한 원 C₂의 중심 좌표를 a,b를 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 원 C₁, C₂가 y=x에 대해 대칭이므로, 두 원의 중심 또한 y=x에 대해 대칭입니다.
4. 두 점 (x₁,y₁)과 (x₂,y₂)가 y=x 대칭일 조건은 x₁=y₂, y₁=x₂ 입니다. 이 관계를 이용해 a,b값을 구합니다.
주의할 점:
두 원이 y=x 대칭이라는 것을 두 원의 중심이 y=x 대칭이라는 조건으로 변환하여 푸는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 중심이 y=x 대칭이 될 조건
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연속적인 이동(평행, 대칭)을 거친 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 이동은 중심의 이동으로 생각합니다. 원래 원의 중심 (-3,1)의 좌표를 찾습니다.
2. 이 중심점을 주어진 규칙(평행이동 → y=x 대칭)에 따라 이동시켜 최종 중심의 좌표를 구합니다.
3. 이 최종 중심점이 직선 y=ax+1 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
원 전체의 방정식을 이동시키는 것보다, 중심점 하나만 이동시키는 것이 계산이 훨씬 간단하고 효율적입니다.
”
연속 이동한 원의 중심이 직선 위
