“
두 점이 직선에 대해 서로 대칭일 때, 그 대칭축 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 대칭축인 직선 l은 선분 PQ의 수직이등분선입니다.
2. **(수직 조건)** 선분 PQ의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
3. **(이등분 조건)** 선분 PQ의 중점의 좌표를 구합니다.
4. 중점을 지나고 수직 기울기를 갖는 직선 l의 방정식을 구합니다.
5. 구한 직선의 x,y절편을 이용해 삼각형의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
618번 문제의 원리를 역으로 적용하는 것입니다. ‘두 점이 직선에 대칭’이면 ‘그 직선은 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선’이라는 사실을 이용합니다.
”
x축과 y=x를 거치는 최단 거리
“
f(x,y)=0으로 표현된 도형을 복합적으로 이동시키는 문제입니다. 이동의 순서를 정확히 파악해야 합니다.
접근법:
1. (이동 순서 파악) f(-x+2, y+1)=0은 f(x,y)=0을 어떻게 이동시킨 것인지 분석합니다.
– f(-x,y) : y축 대칭
– f(-(x-2), y+1) : y축 대칭 후, x축으로 2만큼, y축으로 -1만큼 평행이동
2. (도형에 적용) 주어진 ‘L’자 모양의 도형을 1단계에서 분석한 순서대로 이동시킵니다.
3. y축 대칭을 먼저 시킨 뒤, 그 결과를 x축으로 2칸, y축으로 -1칸 옮겨 최종 모양을 찾습니다.
주의할 점:
f(-x+2, …)와 같이 x항의 계수가 -1일 때는 f(-(x-2), …) 형태로 묶어서 평행이동량을 파악해야 실수를 줄일 수 있습니다.
”
점대칭 이동한 직선이 원에 접할 조건
“
원을 직선에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 직선 대칭 이동은 원의 중심을 직선 대칭 이동하는 것과 같습니다. 반지름은 변하지 않습니다.
2. 원래 원의 중심(0,0)을 직선 y=2x-4에 대해 대칭이동한 새로운 중심의 좌표를 구합니다. (618번 참고: 중점 조건 + 수직 조건)
3. 이 새로운 중심이 직선 5x+5y+a=0 위에 있으므로, 중심의 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
원 전체를 이동시키지 말고, 항상 중심점의 이동으로 문제를 단순화하는 것이 효율적입니다.
”
대칭이동을 이용한 최단 거리와 원래 좌표
“
604번 문제와 유사하게, f(x,y)=0 형태의 도형을 복합적으로 이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. (이동 순서 파악) f(-x+1, -y+2)=0 이 되기까지의 과정을 분석합니다.
– f(-x,-y) : 원점 대칭
– f(-(x-1), -(y-2)) : 원점 대칭 후, x축으로 1만큼, y축으로 2만큼 평행이동
2. (도형에 적용) 주어진 원 모양의 도형을 1단계의 순서대로 이동시킵니다.
3. 원래 원의 중심을 원점 대칭시킨 뒤, 그 결과를 x축으로 1칸, y축으로 2칸 옮기면 최종 도형의 위치를 쉽게 찾을 수 있습니다.
주의할 점:
복잡한 도형의 이동은 도형 전체를 옮기기보다, 도형의 특징적인 점(원의 중심, 다각형의 꼭짓점)을 먼저 이동시킨 후 그 점을 기준으로 도형을 다시 그리는 것이 편리합니다.
”
점대칭 이동한 직선과 원의 현의 길이
“
연속적인 이동(평행, 대칭)을 거친 직선이 특정 점을 지날 때, 원래 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2,0)을 지나고 기울기가 m인 직선 l의 방정식을 세웁니다.
2. 1단계의 직선을 주어진 순서(y축 평행이동 → x축 대칭이동)에 따라 변환하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
3. 이 최종 직선이 점 (1,2)를 지나므로, 좌표를 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(y축 평행이동: y→y-a, x축 대칭이동: y→-y)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
연속 이동 후 특정 점을 지날 조건
“
연속적인 이동(대칭, 평행)을 거친 직선이 원과 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y=x에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축 방향으로 -2만큼 평행이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선이 원 x²+y²=a 와 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 √a와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세우고, a값을 구한 뒤 25a²을 계산합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙과 원의 접선 조건(d=r)을 모두 정확하게 적용해야 하는 종합 문제입니다.
”
연속 이동한 직선이 원에 접할 조건
“
연속적인 이동을 거친 직선이 두 원의 넓이를 동시에 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 y=mx+m+2 를 주어진 규칙에 따라 대칭이동, 평행이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선은 두 원의 넓이를 동시에 이등분하므로, **두 원의 중심을 모두 지나야** 합니다.
3. 각 원의 중심 좌표를 구합니다.
4. 두 중심의 좌표를 최종 직선의 방정식에 각각 대입하면 m과 a에 대한 두 개의 방정식을 얻을 수 있습니다.
5. 이 두 방정식을 연립하여 m과 a값을 구하고, 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
이동 규칙이 복잡하므로 최종 직선의 방정식을 정확히 구하는 것이 중요합니다. ‘넓이를 이등분한다’는 ‘중심을 지난다’로 해석합니다.
”
연속 이동한 직선이 두 원 넓이 동시 이등분
“
두 원의 넓이를 이등분하는 직선을 찾고, 그 직선을 연속적으로 이동시켜 다른 직선과 일치시키는 문제입니다.
접근법:
1. (원래 직선 찾기) 두 원의 넓이를 모두 이등분하는 직선은, 두 원의 중심을 모두 지나는 직선입니다. 두 중심의 좌표를 구해 직선의 방정식을 먼저 찾습니다.
2. (이동 적용) 1단계에서 구한 직선을 주어진 규칙(y축 대칭 → 평행이동)에 따라 이동시켜 최종 직선의 방정식을 구합니다.
3. 이 최종 직선이 y=-3x와 일치해야 하므로, 기울기와 y절편을 비교하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 역으로 생각할 수도 있습니다. y=-3x를 역방향으로 이동시켜 원래의 두 중심을 지나는 직선과 비교하는 방법도 가능합니다.
”
두 원 넓이 이등분 직선의 연속 이동
“
평행이동과 대칭이동을 거친 직선이 원과 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 x축 방향으로 a만큼 평행이동하고, 그 결과를 y=x에 대해 대칭이동하여 최종 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선 l이 주어진 원에 접하므로, 원의 중심 (-1,3)과 직선 l 사이의 거리가 반지름 √5와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 a에 대한 절댓값 방정식을 세우고, 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙을 순서대로 정확하게 적용하여 최종 직선의 방정식을 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
평행/대칭이동한 직선이 원에 접할 조건
“
대칭이동과 평행이동을 통해 두 원의 중심이 y=x 대칭이 될 조건을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (원 C₁ 찾기) 원 C를 원점에 대해 대칭이동한 원 C₁의 중심 좌표를 구합니다.
2. (원 C₂ 찾기) 원 C를 평행이동한 원 C₂의 중심 좌표를 a,b를 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 원 C₁, C₂가 y=x에 대해 대칭이므로, 두 원의 중심 또한 y=x에 대해 대칭입니다.
4. 두 점 (x₁,y₁)과 (x₂,y₂)가 y=x 대칭일 조건은 x₁=y₂, y₁=x₂ 입니다. 이 관계를 이용해 a,b값을 구합니다.
주의할 점:
두 원이 y=x 대칭이라는 것을 두 원의 중심이 y=x 대칭이라는 조건으로 변환하여 푸는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 중심이 y=x 대칭이 될 조건
