“
직선을 점에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1: 자취 이용) 원래 직선 위의 임의의 점 P(a,b)를 점 (2,1)에 대해 대칭이동한 점을 Q(x,y)라 합니다. 두 점 P, Q의 중점이 (2,1)임을 이용해 a,b를 x,y로 표현하고, 이를 원래 직선의 방정식에 대입하여 자취를 구합니다.
2. (방법 2: 평행선 이용) 점대칭한 직선은 원래 직선과 평행합니다. 따라서 기울기는 같습니다. 원래 직선 위의 한 점을 잡아 점 (2,1)에 대해 대칭이동시킨 점을 구하고, 이 점을 지나면서 원래 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
방법 2가 더 직관적이고 계산이 간단합니다. ‘점대칭 이동한 직선은 원래 직선과 평행하다’는 성질을 기억하는 것이 중요합니다.
”
두 원이 직선에 대해 대칭일 조건
“
점대칭과 평행이동이 순차적으로 적용된 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (점대칭) 먼저 직선 y=2x+3을 점 (1,2)에 대해 대칭이동한 직선의 방정식을 구합니다. (611번 참고)
2. (평행이동) 1단계에서 구한 직선을 x축으로 3만큼, y축으로 -2만큼 평행이동합니다. (x→x-3, y→y+2 대입)
3. 최종적으로 얻은 직선이 점 (a,-3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
이동의 순서(점대칭 후 평행이동)를 정확히 지켜야 합니다. 각 이동에 대한 규칙을 정확하게 적용하는 것이 중요합니다.
”
직선을 다른 직선에 대해 대칭이동
“
원을 점에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 점대칭 이동은 원의 중심을 점대칭 이동하는 것과 같습니다. 반지름은 변하지 않습니다.
2. 원래 원의 중심 (-1,3)을 점 (1,-2)에 대해 대칭이동한 새로운 중심의 좌표를 구합니다. (두 점의 중점이 (1,-2)임을 이용)
3. 이 새로운 중심이 직선 y=x+a 위에 있으므로, 중심의 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
원 전체의 방정식을 이동시키는 것은 복잡합니다. 항상 중심점의 이동으로 문제를 단순화하여 푸는 것이 효율적입니다.
”
점의 직선 대칭과 삼각형 넓이
“
점대칭 이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 직선 4x+3y-3=0을 점 (1,0)에 대해 대칭이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다. (611번 참고)
2. 이 새로운 직선이 주어진 원에 접하므로, 원의 중심(-2,1)과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름 r과 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세워 양수 r값을 구합니다.
주의할 점:
점대칭 이동과 원의 접선 조건(d=r)이라는 두 가지 핵심 개념을 순차적으로 정확하게 적용해야 합니다.
”
대칭이동을 이용한 거리의 최솟값
“
평행이동과 대칭이동을 거친 점이 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (-4,2)를 주어진 규칙에 따라 평행이동한 점의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 1단계에서 구한 점을 y=x에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다.
3. 이 최종 점이 직선 2x-y+1=0 위에 있으므로, 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
4. a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
이동의 순서와 각 이동에 대한 규칙을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
평행/대칭이동 후 직선 위의 점 조건
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평행이동과 대칭이동을 거친 원이 특정 점을 지날 때의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원을 주어진 규칙(x축 평행이동 → y축 대칭이동)에 따라 이동시켜 최종 원의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 원이 점 (0,a)를 지나므로, 원의 방정식에 x=0, y=a를 대입합니다.
3. a에 대한 이차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
원의 방정식을 직접 이동시키는 문제입니다. 평행이동은 x→x-a, 대칭이동은 해당 문자를 변환하는 규칙을 정확히 적용해야 합니다.
”
연속 이동한 원이 특정 점을 지날 조건
“
직선의 평행이동과 대칭이동을 순차적으로 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (-1,0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 x축 방향으로 3만큼 평행이동합니다. (x 대신 x-3 대입)
3. 2단계에서 얻은 직선을 y축에 대해 대칭이동합니다. (x 대신 -x 대입)
4. 최종적으로 얻은 직선이 점 (1,1)을 지나므로, 좌표를 대입하여 기울기 m값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(평행이동은 부호 반대, 대칭이동은 해당 문자 변경)을 정확히 적용해야 합니다.
”
직선의 평행/대칭이동과 특정 점 통과
“
대칭이동과 평행이동 후 두 원이 만나서 생기는 공통현의 길이를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원 O₁을 직선 y=x에 대해 대칭이동하고, 다시 평행이동하여 원 O₂의 방정식을 구합니다.
2. 이제 두 원 O₁, O₂가 주어졌으므로, 이 두 원의 **공통현 AB의 길이**를 구합니다.
3. 공통현의 길이는 (1)공통현 방정식 구하기 → (2)한 원의 중심에서 공통현까지 거리 d 구하기 → (3)피타고라스 정리 적용하기, 3단계를 통해 구할 수 있습니다.
주의할 점:
이동 규칙이 복잡하고, 공통현 길이를 구하는 과정 또한 여러 단계를 거치므로 계산량이 매우 많습니다. 각 단계를 침착하게 해결해야 합니다.
”
연속 이동한 두 원의 공통현의 길이
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연속적인 이동으로 만들어진 세 점으로 구성된 삼각형의 무게중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 점 P(5,1)의 좌표를 알고 있습니다.
2. 점 P를 평행이동한 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 점 Q를 y=x에 대해 대칭이동한 점 R의 좌표를 구합니다.
4. 이제 세 꼭짓점 P, Q, R의 좌표를 모두 알았으므로, 무게중심 공식을 이용해 G(a,b)를 구합니다.
주의할 점:
각 단계별로 이동된 점의 좌표를 정확하게 계산하는 것이 중요합니다.
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연속 이동 후 무게중심 구하기
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대칭이동과 평행이동으로 만들어진 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 B의 좌표를 구합니다.
2. 점 B를 주어진 규칙대로 평행이동한 점 C의 좌표를 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로, **직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같다**는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 공선 조건(기울기가 같다)을 정확하게 적용하는 것이 핵심입니다.
”
연속 이동 후 세 점의 공선 조건
