“
명제의 대우를 이용하여, 원래 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘x>a 이면 x²-8x-20≠0 이다’ 라는 명제가 참이 되기 위한 조건을 직접 구하기는 어렵습니다.
2. **원래 명제와 대우는 참/거짓을 함께**하므로, 이 명제의 **대우**가 참이 될 조건을 대신 구합니다.
3. (대우) ‘x²-8x-20=0 이면 x≤a 이다.’
4. 이차방정식 x²-8x-20=0의 해를 구합니다. (x=10 또는 x=-2)
5. 이 해들이 모두 결론(x≤a)을 만족해야 합니다. 즉, 10≤a 이고 -2≤a 여야 합니다.
6. 두 조건을 모두 만족하는 a의 범위는 a≥10 이므로, a의 최솟값은 10입니다.
주의할 점:
‘~가 아니다(≠)’ 와 같은 부정적인 결론을 가진 명제는, 대우를 취하여 긍정적인 결론(‘~이다(=)’)으로 바꾸어 풀면 훨씬 쉬워집니다.
”
대우를 이용한 명제의 증명 (부정형 결론 문제)
“
918번 문제와 동일하게, 명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수 k의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q의 역은 q→p 입니다.
2. 역이 참이 되려면, 진리집합 **Q⊂P** 여야 합니다.
3. p와 q의 진리집합을 각각 부등식의 해로 구합니다.
4. 수직선 위에 Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
5. P의 범위가 Q의 범위를 완전히 덮도록 하는 k의 범위를 부등식으로 세우고, 정수 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
각 부등식을 풀어 진리집합의 범위를 정확하게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수 k값 찾기
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명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제 p→q의 **역**은 **q→p** 입니다.
2. 역이 참이 되려면, q의 진리집합 Q가 p의 진리집합 P에 **완전히 포함되어야** 합니다 (Q⊂P).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역’이 참일 조건은 Q⊂P 이고, ‘원래 명제’가 참일 조건은 P⊂Q 입니다. 두 가지를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
명제의 역이 참이 될 조건 (Q⊂P)과 미지수 범위
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주어진 명제의 역과 대우를 구하고, 그 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (역) ‘x²=9 이면 |x|=3 이다.’ → |x|=3이면 x는 3 또는 -3이고, 이를 제곱하면 항상 9가 되므로 역은 **참**입니다.
2. (대우) ‘x²≠9 이면 |x|≠3 이다.’ → 원래 명제가 참이므로 대우도 **참**입니다.
3. (원래 명제) ‘|x|=3 이면 x²=9 이다.’ → 원래 명제도 참입니다.
주의할 점:
진리집합의 포함 관계로 참/거짓을 판단할 수 있습니다. p:|x|=3 → P={-3,3}, q:x²=9 → Q={-3,3}. P=Q이므로 p→q와 q→p가 모두 참입니다.
”
명제의 역과 대우의 참/거짓 판별하기
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역과 대우의 정의를 이해하고, 그 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
(원래 명제) p → q
(역) q → p (가정과 결론을 바꿈)
(대우) ~q → ~p (역을 취한 뒤 각각 부정)
1. 주어진 명제의 역(q→p)과 대우(~q→~p)를 각각 문장으로 만듭니다.
2. 원래 명제, 역, 대우 각각의 참/거짓을 판별합니다.
3. **원래 명제와 대우는 항상 참/거짓을 함께합니다.**
4. ‘역이 참인 명제’는 q→p가 참인 것을 찾으라는 의미입니다.
주의할 점:
네 가지 관계(원래 명제, 역, 이, 대우)를 정확히 구분하고, 특히 명제와 대우의 진리값이 같다는 ‘대우법’은 매우 중요한 논리 규칙입니다.
”
명제의 역과 대우의 정의 및 참/거짓 판별하기
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명제 p→q와 그 부정 ~p→q가 모두 참일 때의 진리집합 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. p→q가 참이므로, P⊂Q 입니다.
2. ~p→q가 참이므로, Pᶜ⊂Q** 입니다.
3. P와 P의 바깥 영역(Pᶜ)이 모두 Q에 포함되려면, P와 Pᶜ의 합집합, 즉 **전체집합 U가 Q에 포함**되어야 합니다.
4. U⊂Q이고 Q는 U의 부분집합이므로, 결국 **Q=U** (전체집합)가 되어야 합니다.
5. 이 관계를 항상 만족하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
두 가지 포함 관계를 벤 다이어그램으로 그려보면, Q가 전체 영역을 모두 덮어야만 두 조건을 만족시킬 수 있음을 시각적으로 확인할 수 있습니다.
”
두 명제가 모두 참일 때의 진리집합 관계 (Q=U)
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‘어떤’을 포함하는 명제가 거짓이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘어떤 x에 대하여 p이다’가 **거짓**이라는 것은, 그 부정인 ‘모든 x에 대하여 ~p이다’가 참이라는 의미입니다.
2. 조건 p는 x²+6x+k ≤ 0 입니다.
3. 조건 ~p는 x²+6x+k > 0 입니다.
4. ‘모든 실수 x에 대하여 x²+6x+k > 0이다’가 참이 되려면, 아래로 볼록한 이차함수가 항상 x축 위에 떠 있어야 합니다.
5. 이는 이차방정식 x²+6x+k=0이 **허근**을 가져야 함을 의미합니다.
6. 따라서 이차방정식의 **판별식 D
주의할 점:
913번 문제와 비교하여, ‘모든’과 ‘어떤’, ‘참’과 ‘거짓’에 따라 판별식의 부등호(≥ 또는
”
어떤’ 명제가 거짓일 조건 (부정 활용하여 D
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‘모든’을 포함하는 명제가 거짓이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘모든 x에 대하여 p이다’가 거짓이라는 것은, 그 부정인 ‘어떤 x에 대하여 ~p이다’가 참이라는 의미입니다.
2. 조건 p는 x²-2(a-1)x+9 > 0 입니다.
3. 조건 ~p는 x²-2(a-1)x+9 ≤ 0 입니다.
4. ‘어떤 x에 대하여 x²-2(a-1)x+9 ≤ 0이다’가 참이 되려면, 이 부등식을 만족하는 x가 **적어도 하나 존재**해야 합니다.
5. 아래로 볼록한 이차함수의 값이 0 이하인 지점이 존재하려면, 이차함수가 x축과 만나거나(중근) x축 아래로 내려가야(두 실근) 합니다.
6. 따라서 이차방정식의 **판별식 D ≥ 0** 이어야 합니다.
주의할 점:
명제의 참/거짓을 다루기 어려울 때는, 그 부정의 참/거짓을 생각해보는 것이 좋은 전략입니다.
”
모든’ 명제가 거짓일 조건 (부정 활용하여 D≥0)
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‘어떤’을 포함하는 명제가 참이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 ‘P에 속하는 어떤 x에 대하여 x는 Q에 속한다’가 참이 되려면, **P와 Q의 교집합이 공집합이 아니어야** 합니다 (P∩Q ≠ ∅). 즉, 두 집합은 적어도 하나의 공통 원소를 가져야 합니다.
2. 두 집합 P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타냅니다.
3. 두 범위가 겹치는 부분이 존재하도록 하는 a의 범위를 찾습니다.
4. 두 범위가 겹치려면, ‘한쪽의 시작점 5. 두 부등식의 공통 범위를 구하여 정수 k의 개수를 셉니다.
주의할 점:
‘어떤’ 명제가 참일 조건은 ‘교집합이 공집합이 아니다’ 입니다. ‘모든’ 명제가 참일 조건(P⊂Q)과 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
어떤’ 명제가 참일 조건 (교집합 존재) 이해하기
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부정 명제(~p→q)가 참이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 ~p→q가 참이 되려면, **Pᶜ ⊂ Q** 여야 합니다.
2. 먼저 p의 진리집합 P를 구하고, 이를 이용해 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
3. Pᶜ과 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Pᶜ이 Q에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
부정(~)이 붙으면 진리집합은 여집합(ᶜ)이 된다는 점을 기억해야 합니다. 여집합의 범위를 구할 때 부등호의 방향과 등호 유무에 주의하세요.
”
부정 명제가 참일 조건과 진리집합 포함 관계 (Pᶜ⊂Q)
