“
A ⊂ X ⊂ B와 함께 원소의 개수에 대한 추가 조건이 있는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 3}
– B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. 집합 X는 {1,3}을 반드시 포함하고, {2,4,6,12}의 원소들을 추가로 가질 수 있습니다.
3. (나) 조건: n(X)≥4 이므로, X는 {2,4,6,12}의 원소 중 **적어도 2개**를 더 가져와야 합니다. (기본 원소 2개 + 추가 원소 2개 이상)
4. {2,4,6,12}의 부분집합 중에서 원소의 개수가 2개 이상인 것의 개수를 셉니다. (전체 부분집합 개수 – 공집합 개수 – 원소 1개인 부분집합 개수)
주의할 점:
원소 개수에 대한 조건은 조합(Combination)을 이용하여 경우를 나누어 풀 수도 있습니다.
”
원소 개수 조건이 추가된 A⊂X⊂B 찾기
“
복잡한 방정식의 해를 원소로 하는 집합 사이의 포함 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) 주어진 방정식을 풀기 위해 x²-5x를 X로 치환합니다. X에 대한 이차방정식을 풀어 X값을 찾고, 다시 x²-5x=X를 풀어 집합 A의 원소를 모두 구합니다.
2. (집합 B 구하기) B는 36의 양의 약수 집합입니다.
3. (집합 X 개수 구하기) A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X는, B의 부분집합 중 A의 모든 원소를 반드시 포함하는 집합입니다. 부분집합 개수 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
치환을 이용한 고차방정식 풀이를 정확하게 할 수 있어야 집합 A를 올바르게 구할 수 있습니다.
”
치환을 이용한 방정식의 해와 부분집합 관계
“
두 집합의 포함 관계와 진부분집합의 개수를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {k이하의 자연수} → n(A)=k
– B = {1, 2, 4, 8}
2. B⊂X⊂A를 만족하는 집합 X의 개수는 2^(n(A) – n(B)) = 2^(k-4) 입니다.
3. 문제에서 X≠A라는 조건이 추가되었습니다. 이는 ‘진부분집합’을 의미하는 것이 아니라, 단순히 X=A인 경우 하나만 제외하라는 의미입니다.
4. 따라서, 조건을 만족하는 X의 개수는 (2^(k-4)) – 1 입니다.
5. 이 개수가 63이라고 했으므로, (2^(k-4)) – 1 = 63 이라는 방정식을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 ‘X≠A’라는 표현이 진부분집합 전체를 의미하는 것이 아니라, 여러 X 중 A와 같은 경우 하나만 제외하라는 뜻임을 정확히 해석해야 합니다.
”
B⊂X⊂A이고 X≠A인 집합 X의 개수 찾기
“
A ⊂ X ⊂ B와 함께, X가 A나 B와는 같지 않다는 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X의 개수를 구합니다. (735번 참고)
2. 이 개수에는 X=A인 경우와 X=B인 경우가 모두 포함되어 있습니다.
3. 문제에서 X≠A, X≠B 라는 조건을 주었으므로, 1단계에서 구한 전체 개수에서 **2개**를 빼주면 됩니다.
주의할 점:
X=A와 X=B는 A⊂X⊂B를 만족하는 경우 중 하나이므로, 마지막에 제외해주어야 합니다.
”
A⊂X⊂B에서 진부분집합 X의 개수 구하기
“
벤 다이어그램으로 주어진 집합에 대해, A ⊂ X ⊂ B와 추가 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 벤 다이어그램을 보고 A와 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 2, 3, 4}
– B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2. 집합 X는 B의 부분집합이면서, {1,2,3,4}를 **반드시 포함**해야 합니다.
3. 추가 조건으로, X는 5를 **원소로 갖지 않아야** 합니다.
4. 따라서 집합 X의 개수는, B의 원소 중 {1,2,3,4}와 {5}를 제외한 나머지 원소 **{6, 7}**로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2²)
주의할 점:
여러 조건이 붙을 때마다, 전체 집합에서 조건에 해당하는 원소들을 하나씩 제외하고 남은 원소들로 부분집합을 만든다고 생각하면 됩니다.
”
벤 다이어그램과 A⊂X⊂B, 추가 조건의 이해
“
A ⊂ X ⊂ B를 만족하는 집합 X의 개수를 구하는 가장 기본적인 유형입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, X를 모두 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {2, 3}
– B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
2. 집합 X는 B의 부분집합이면서, A의 모든 원소(2, 3)를 **반드시 포함**해야 합니다.
3. 따라서 집합 X의 개수는, B의 원소 중 2와 3을 제외한 나머지 원소들 **{1, 6, 9, 18}** 로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다.
4. {1, 6, 9, 18}의 원소 개수는 4개이므로, 구하는 집합 X의 개수는 2⁴ 입니다.
주의할 점:
A⊂X⊂B를 만족하는 X의 개수는 2^(n(B)-n(A)) 공식으로 빠르게 구할 수 있습니다. (단, A⊂B가 전제되어야 함)
”
A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X의 개수 구하기
“
최소 원소를 기준으로 정의된 함수에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. 함수 f(n)은 집합 X={1, …, 10}의 부분집합 중, n을 최소 원소로 갖는 집합의 개수입니다.
2. 이는 n을 **반드시 포함**하고, 1, 2, …, n-1은 **포함하지 않는** 부분집합의 개수와 같습니다.
3. 따라서 **f(n) = 2^(10 – n)** 이라는 일반식을 세울 수 있습니다.
4. 이 일반식을 이용해 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
문제의 정의를 일반적인 함수식으로 변환하면, 각 보기의 내용을 쉽게 확인할 수 있습니다.
”
최소 원소가 정해진 부분집합의 개수 판별하기
“
원소의 곱이 6의 배수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 731번과 유사합니다.
접근법:
곱이 6의 배수가 되려면, **2의 배수와 3의 배수를 적어도 하나씩** 포함해야 합니다.
1. A={3,4,5,6,7}. 2의 배수 관련 원소는 {4,6}, 3의 배수 관련 원소는 {3,6} 입니다.
2. (경우 1: 6을 포함) 6이 포함되면 곱은 항상 6의 배수입니다. 6을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2^(5-1)=16개. 이 중 n(X)≥2를 만족하지 않는 {6}을 제외하면 15개.
3. (경우 2: 6을 미포함, 3과 4를 포함) 3과 4를 반드시 포함하고 6은 포함하지 않는 부분집합의 개수는 2^(5-1-1-1)=4개. 이들은 모두 n(X)≥2를 만족.
4. 두 경우의 수를 더합니다.
주의할 점:
6은 2의 배수이자 3의 배수이므로, 6의 포함 여부를 기준으로 경우를 나누는 것이 효율적입니다.
”
곱이 6의 배수가 되는 부분집합의 개수 찾기
“
원소의 합이 홀수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
원소의 합이 홀수가 되려면, 부분집합에 포함된 **홀수의 개수가 홀수 개**여야 합니다.
1. 집합 A의 홀수는 {1, 3, 5, 7} (4개), 짝수는 {2, 4, 6} (3개) 입니다.
2. (경우 1: 홀수 1개 포함) 4개의 홀수 중 1개를 선택하고(₄C₁), 3개의 짝수로는 임의의 부분집합을 만듭니다. (₄C₁ × 2³)
3. (경우 2: 홀수 3개 포함) 4개의 홀수 중 3개를 선택하고(₄C₃), 3개의 짝수로는 임의의 부분집합을 만듭니다. (₄C₃ × 2³)
4. 두 경우의 수를 더하고, n(X)≥2 조건을 만족하지 않는 경우({1},{3},{5},{7}) 4개를 제외합니다.
주의할 점:
짝수는 합에 아무리 더해도 홀/짝 여부에 영향을 주지 않습니다. 합의 홀/짝은 오직 홀수의 개수에 의해서만 결정됩니다.
”
원소의 합이 홀수가 되는 부분집합의 개수 구하기
“
원소의 곱이 6의 배수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건의 원리를 이용하는 것이 편리합니다.
접근법:
1. 전체 경우: 6을 포함하지 않는 U의 부분집합 중 공집합이 아닌 것의 개수를 구합니다.
2. **(여사건)** ‘곱이 6의 배수’의 반대는 ‘곱이 6의 배수가 아닌 경우’ 입니다. 6은 포함하지 않으므로, 이는 **(2의 배수를 포함하지 않음) 또는 (3의 배수를 포함하지 않음)**을 의미합니다.
3. 6을 제외한 원소는 {1,2,3,4,5,7,8,9} 입니다. 이 중 2의 배수는 {2,4,8}, 3의 배수는 {3,9} 입니다.
4. (전체) – (2의 배수가 없는 경우) – (3의 배수가 없는 경우) + (2와 3의 배수 모두 없는 경우)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘적어도 ~이다’ 또는 ‘~의 배수이다’와 같은 조건은 여사건을 활용하면 계산이 더 간단해지는 경우가 많습니다.
”
곱이 6의 배수가 되는 부분집합
