📊 수능 고득점을 위한 단원 분석 — 평면좌표
「평면좌표」 단원은 도형을 좌표평면 위에서 대수적으로 처리하는 능력을 묻는 단원으로, 수능에서 단독 출제보다는 원의 방정식 · 직선의 방정식 · 함수 그래프 · 도형의 이동 등과 결합되어 출제됩니다. 특히 중점·내분점·외분점 공식은 사잇각, 삼각형의 넓이, 도형의 성질 문제에서 반복적으로 활용됩니다.
본 유형(선분의 중점의 활용 — 마름모/평행사변형)은 도형의 정의·성질을 좌표조건으로 번역하는 능력을 평가합니다. 핵심은 ① 평행사변형 ⇔ 두 대각선의 중점 일치, ② 마름모 ⇔ 평행사변형 + 이웃하는 두 변의 길이 같음으로 조건을 식으로 옮긴 뒤 두 점 사이의 거리 공식·이차방정식으로 마무리하는 흐름을 반드시 체화해야 합니다.
🎯 출제의도 & 문제풀이 핵심 맥락
출제의도 — 평행사변형의 기하학적 성질(두 대각선의 중점 일치, 대변의 길이 같음)을 좌표조건으로 옮기고, 두 점 사이의 거리 공식으로 세운 무리방정식을 정리하여 미지수의 값을 구할 수 있는지를 평가합니다.
풀이 맥락 —
① D의 좌표를 미지수로 설정 → 평행사변형 ABCD에서 AC의 중점 = BD의 중점을 이용해 D의 좌표와 k의 관계식을 얻는다.
② 둘레의 길이 = 16√2이고 평행사변형은 두 쌍의 대변이 같으므로 AB + AD = 8√2.
③ 두 점 사이의 거리 공식으로 AB, AD를 a에 대한 식으로 표현 → 무리방정식 → 양변 제곱 → 이차방정식으로 a값을 구하고, 다시 ①에 대입해 k의 모든 값의 합을 구한다.
※ 다른 풀이로 AB + BC = 8√2를 직접 이용하면 D의 좌표를 거치지 않고 k를 바로 구할 수 있습니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 키워드
- 두 점 사이의 거리 공식 — 평면 위 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂) 사이 거리 √{(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²}
- 선분의 중점 공식 — 두 점의 좌표 평균
- 평행사변형의 성질 — 두 대각선이 서로를 이등분(중점 일치), 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같음 (외부 개념)
- 이차방정식의 근과 계수의 관계 — 두 해의 합을 활용한 마무리 (외부 개념)
🎬 해설 동영상
📝 해설 이미지
단계별 풀이를 정리한 공식 해설입니다. (STEP A → STEP B → 다른 풀이)
📚 관련 개념정리 포스트
- [C-01] 두 점 사이의 거리 — 좌표평면 위 두 점 사이 거리 공식의 유도와 활용
- [C-04] 선분의 중점과 내·외분점 — 중점·내분점·외분점 공식의 정리