📌 이 유형, 수능에서 왜 중요한가
평면좌표(내분점·중점) 단원에서 이차함수 그래프와 직선의 교점 문제는 거의 항상 이차방정식의 근과 계수의 관계와 결합되어 출제됩니다. 핵심은 교점 A, B의 좌표를 직접 구하지 않고, 두 교점의 x좌표를 한 이차방정식의 두 근으로 보고 두 근의 합(α+β)만으로 중점 조건을 처리하는 사고입니다. 수능·모평에서는 여기에 직선의 기울기·절편 결정, 판별식(서로 다른 두 점에서 만남), 내분점·외분점 조건이 얹혀 난도가 올라갑니다. 좌표를 구해 대입하는 방식은 시간이 많이 들어 감점 요인이 되므로, 근과 계수의 관계로 우회하는 패턴을 반드시 손에 익혀야 합니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
- 두 교점의 x좌표를 α, β로 두면, 이차함수와 직선을 연립한 식 x²−(m+4)x−6−n=0의 두 근이 바로 α, β.
- 근과 계수의 관계에서 α+β = m+4 를 얻는 것이 1단계 핵심.
- 중점의 x좌표 (α+β)/2 = 3 → α+β = 6 → m = 2.
- 중점의 y좌표 조건 {m(α+β)+2n}/2 = 5 에 대입 → n = −1.
- 따라서 mn = 2 × (−1) = −2 ➡️ 정답 ①
※ 좌표를 직접 구하지 않고 “두 근의 합”만으로 m을, 중점의 y조건으로 n을 결정하는 흐름이 시간 단축의 핵심입니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭 → 이동)
이 문제는 평면좌표 단원이지만, 실제 풀이의 열쇠는 다른 단원의 개념입니다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계 — 교점 x좌표의 합 α+β = m+4 를 끌어내는 도구
- 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계(교점) — 연립 → 이차방정식 변환과 판별식 조건
- 선분의 중점·내분점 좌표 — 중점 (3, 5) 조건을 식으로 옮기는 기준
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