📌 이 유형, 수능에서 왜 중요한가
평면좌표 단원의 ‘선분의 내분점’은 단독으로보다 다른 단원과 결합될 때 변별력을 갖는 유형입니다.
이 문제는 내분점(평면좌표) + 이차함수와 직선의 교점 + 근과 계수의 관계(이차방정식)를 한 번에 묶은 전형적인 통합형입니다.
고득점의 핵심은 “도형·좌표 조건을 식으로 번역”하는 능력입니다. ‘내분점이 y축 위에 있다’는 한 줄 조건을 x좌표 = 0으로 옮기는 순간 문제의 실마리가 풀립니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
핵심 ① 점 P가 y축 위에 있다 → 내분점의 x좌표 = 0. 1 : 3 내분점 공식에 대입해 두 점 A, B의 x좌표 사이 관계식을 만든다.
핵심 ② 두 점은 y=x²와 y=ax+12의 교점이므로, x²=ax+12의 두 근이 곧 A, B의 x좌표. 근과 계수의 관계로 두 근의 곱을 상수로 확보한다.
핵심 ③ 두 관계식을 연립해 x좌표를 확정 → 두 점의 좌표 → 직선의 기울기 a를 계산한다.
⚠ 함정 포인트 내분 비율 1 : 3의 순서(어느 점이 1쪽인지)와 ‘A의 x좌표 < B의 x좌표’ 대소 조건을 놓치면 부호가 어긋납니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (단원 밖 연결 개념)
▸ 이차방정식 근과 계수의 관계 — 두 교점의 x좌표(두 근)의 합·곱을 a로 표현
▸ 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계(교점 구하기) — 두 식을 연립해 교점의 x좌표를 근으로 해석
▸ 선분의 내분점 공식 — 1 : 3 내분점의 x좌표 = 0 조건 적용
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