📘 평균값 정리
1️⃣ 평균값 정리의 정의
함수 \( f(x) \)가 닫힌구간 \( [a,b] \)에서 연속이고 열린구간 \( (a,b) \)에서 미분가능하면 다음을 만족하는 \( c \)가 열린구간 \( (a,b) \)에 적어도 하나 존재합니다.
평균값 정리에서 \( f(a)=f(b) \)인 경우가 롤의 정리입니다.
2️⃣ 개념살펴보기 (평균값 정리 증명)
롤의 정리를 이용하여 평균값 정리를 증명해 보겠습니다.
오른쪽 그림에서 함수 \( y=f(x) \)의 그래프 위의 두 점 \( P(a,f(a)) \), \( Q(b,f(b)) \)를 지나는 직선의 방정식은
\[y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\]
이때
\[g(x)=f(x)-\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\right]\]
로 놓으면 함수 \( g(x) \)는 닫힌구간 \( [a,b] \)에서 연속이고 열린구간 \( (a,b) \)에서 미분가능하며 \( g(a)=g(b)=0 \)입니다.
따라서 롤의 정리에 의하여 \( g'(c)=0 \)을 만족시키는 \( c \)가 열린구간 \( (a,b) \)에 적어도 하나 존재합니다.
즉,
\[g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0, \quad 즉, \quad \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]
평균값 정리는 곡선 \( y=f(x) \) 위의 두 점을 잇는 직선과 평행한 접선을 갖는 점이 열린구간 \( (a,b) \)에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.
3️⃣ 주의할 점 🚩
평균값 정리의 조건(연속성과 미분가능성)이 충족되지 않으면 정리가 성립하지 않을 수 있습니다.