📘 곡선 밖의 한 점의 좌표가 주어질 때 접선의 방정식 구하기
1️⃣ 곡선 밖의 한 점에서의 접선 방정식 구하기
곡선 \( y=f(x) \) 밖의 한 점 \( (x_1,y_1) \)에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하는 방법은 다음과 같아요.
- (i) 접점의 좌표를 \( (a,f(a)) \)로 놓는다.
- (ii) \( y-f(a)=f'(a)(x-a) \)에 점 \( (x_1,y_1) \)의 좌표를 대입하여 \( a \)의 값을 구한다.
- (iii) \( a \)의 값을 \( y-f(a)=f'(a)(x-a) \)에 대입하여 접선의 방정식을 구한다.
2️⃣ 개념살펴보기 (예제 풀이)
곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식은 접점의 좌표와 기울기가 모두 주어지지 않은 경우예요. 이때 곡선 위의 임의의 점을 접점으로 정하여 접선의 방정식을 세우고, 그 접선이 주어진 곡선 밖의 점을 지남을 이용하여 접선의 방정식을 구합니다.
예를 들어 점 \( (0,-1) \)에서 곡선 \( y=x^2 \)에 그은 접선의 방정식을 구해 봅시다.
- \( f(x)=x^2 \)으로 놓으면 \( f'(x)=2x \)
- (i) \( f(a)=a^2 \)이므로 접점의 좌표를 \( (a,a^2) \)이라 하자.
- (ii) 접선의 방정식은 \[y-a^2=2a(x-a) \quad 즉, y=2ax-a^2\] 이 직선이 점 \( (0,-1) \)을 지나므로 \[-1=-a^2 \quad \therefore a^2=1 \quad 즉, a=1 \text{ 또는 } a=-1\]
- (iii) 위에서 구한 \( a \)의 값을 \( y=2ax-a^2 \)에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은
\[y=-2x-1, \quad y=2x-1\]
3️⃣ 개념확인문제 ✅
점 \((-1,-3)\)에서 곡선 \( y=x^2+2x-1 \)에 그은 접선의 방정식을 모두 구하세요.
풀이
- \( f(x)=x^2+2x-1 \), \( f'(x)=2x+2 \)
- 접점의 좌표를 \((a, a^2+2a-1)\)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 \(f'(a)=2a+2\)이므로 접선의 방정식은
\[y-(a^2+2a-1)=(2a+2)(x-a)\] - 직선이 점 \((-1,-3)\)을 지나므로 \[-3=(2a+2)(-1-a)+a^2+2a-1\]이며, 이를 풀면 \( a=-2 \) 또는 \( a=0 \)
- 각각의 경우 접선의 방정식은
\[y=-2x-5, \quad y=2x-1\]