📘 도함수 개념 정리와 예제 풀이
1️⃣ 도함수의 정의와 기호
미분 가능한 함수 \( y = f(x) \)의 정의역의 각 원소 \( x \)에 대해 미분계수 \( f'(x) \)를 대응시키는 새로운 함수를 도함수라고 해요. 이를 다음과 같은 기호로 나타낼 수 있습니다.
$$ f'(x), \; y’, \; \frac{dy}{dx}, \; \frac{d}{dx} f(x) $$
도함수의 정의는 다음과 같아요.
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} $$
– \( \frac{dy}{dx} \)는 단순히 \( dy \)를 \( dx \)로 나눈 것이 아니라, \( y \)를 \( x \)에 대해 미분한 것을 의미하는 기호입니다.
– \( x=a \)에서의 미분계수 \( f'(a) \)는 도함수 \( f'(x) \)에 \( x=a \)를 대입한 값이에요.
2️⃣ 개념살펴보기: 도함수 구하는 방법
함수 \( f(x) = x^2 \)의 \( x=a \)에서의 미분계수 \( f'(a) \)는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$ \begin{aligned} f'(a) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) – f(a)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(a+\Delta x)^2 – a^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} (2a + \Delta x) = 2a \end{aligned} $$
따라서 \( f(x) = x^2 \)의 도함수는 \( f'(x) = 2x \)이에요.
3️⃣ 개념확인문제: 도함수 구하기 연습 ✅
함수 \( f(x) = 2x – 1 \)의 도함수를 구하고, \( x = 3 \)에서의 미분계수를 구해볼까요?
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[2(x + \Delta x) – 1] – (2x – 1)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2 \end{aligned} $$ 따라서 \( f'(3) = 2 \)입니다. 아주 간단하죠?
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