📘 함수가 미분가능하지 않은 경우

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1️⃣ 불연속인 경우

함수 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 미분가능하면 \( x=a \)에서 연속이랍니다. 따라서 불연속인 경우에는 미분가능하지 않아요.

예시: 함수 \( f(x) = \begin{cases} 1 & (x \geq 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases} \) 의 그래프는 오른쪽과 왼쪽이 끊겨 있으므로 \( x=0 \)에서 불연속이에요. 따라서 \( x=0 \)에서 미분가능하지 않습니다.

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2️⃣ 그래프가 꺾이는 경우

예시 함수: \( f(x) = |x^2 – 1| \)

1. \( x=1 \)에서 연속성: $$ f(1) = 0, \quad \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \implies 연속 $$
2. 좌우 미분계수: $$ \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = 2, \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -2 $$ 좌우 극한값이 달라서 미분계수가 존재하지 않으므로 \( x=1 \)에서 미분가능하지 않아요.

마찬가지로 \( x=-1 \)에서도 같은 이유로 연속이지만 미분가능하지 않아요. 이는 그래프가 \( x=a \)에서 꺾이는 점의 형태로 나타납니다.

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3️⃣ 일반적인 정리

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