📘 미분가능성과 연속성

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1️⃣ 미분가능성과 연속성의 관계

함수 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 미분가능하면 함수 \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 연속이에요. 하지만 그 역은 항상 성립하지 않아요. 즉, 함수 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 연속이지만 \( x=a \)에서 미분가능하지 않은 경우도 있답니다.

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2️⃣ 개념 Approach (연속성과 미분가능 확인 방법)

함수 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 미분가능함을 보이면, 자연스럽게 \( x=a \)에서 연속임을 확인할 수 있어요. 왜냐하면:

$$ \lim_{x \to a} f(x) – f(a) = 0 $$

또한, \( f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x – a} \) 가 존재하면:

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

즉, 모든 미분가능한 함수는 연속함수라고 할 수 있습니다.

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3️⃣ 개념 Check 문제 풀이 ✅

함수 \( f(x) = |x| \)의 \( x=0 \)에서의 연속성과 미분가능성을 확인해보겠습니다.

1. 연속성: $$ f(0) = 0, \quad \lim_{x \to 0} |x| = 0 \implies \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $$ 따라서 \( x=0 \)에서 연속입니다.
2. 미분가능성: $$ \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|0 + \Delta x| – 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1 $$ $$ \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|0 + \Delta x| – 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1 $$ 좌우 극한값이 다르므로 미분계수가 존재하지 않아요. 따라서 함수 \( f(x) = |x| \)는 \( x=0 \)에서 연속이지만 미분가능하지 않습니다.

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