📘 미분가능
1️⃣ 미분가능의 정의
함수 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 미분계수 \( f'(a) \)가 존재할 때, 함수 \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 미분가능하다고 해요.
📎 주의할 점 — 미분계수 \( f'(a) \)가 존재하지 않으면, 함수 \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 미분가능하지 않다고 한답니다.
2️⃣ 미분가능한 함수
함수 \( f(x) \)가 어떤 구간에 속하는 모든 \( x \) 값에서 미분가능하면, 함수 \( f(x) \)는 그 구간에서 미분가능한 함수라고 합니다.
3️⃣ 개념 Approach (미분가능성 확인 방법)
함수 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 미분가능함을 보이려면, 다음 극한값이 존재함을 보이면 돼요.
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
특히, 이 극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 그 값이 서로 같아야 해요. 즉,
$$ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
4️⃣ 개념 Check 문제 풀이 ✅
함수 \( f(x) = x^3 + 1 \)의 \( x=0 \)에서의 미분가능성을 조사해볼게요.
$$ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) – f(0)}{h} $$
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 + 1 – 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 = 0 $$
따라서 \( f'(0) \)이 존재하므로, 주어진 함수는 \( x=0 \)에서 미분가능합니다.
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