📘 미분계수를 이용한 극한값의 계산
1️⃣ 분모의 항이 1개인 경우
다음 미분계수의 정의를 이용해 극한값을 쉽게 계산할 수 있어요.
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} $$
아래 식을 변형해 볼게요: $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+kh)-f(a)}{h} $$ 여기서 \(k\)는 상수예요.
분자와 분모에 \(k\)를 곱하면: $$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+kh)-f(a)}{kh} \cdot k $$ 따라서 다음과 같이 됩니다: $$ = k f'(a) $$ 결국, $$ f'(a) = \lim_{x \to 0} \frac{f(a + \square) – f(a)}{\square} $$ 꼴로 변형해서 풀면 돼요.
2️⃣ 분모의 항이 2개인 경우
다음 미분계수 정의를 활용합니다.
$$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x – a} $$
다음 극한을 살펴보세요: $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x^2) – f(a^2)}{x – a} $$ 분자와 분모에 \((x + a)\)를 곱해 인수분해하면: $$ = \lim_{x \to a} \frac{f(x^2)-f(a^2)}{(x – a)(x + a)} \cdot (x + a) $$ 이제, $$ = f'(a^2) \cdot 2a $$ 결과적으로 이렇게 정리할 수 있어요. $$ f'( \bullet ) = \lim_{\triangle \to \bullet} \frac{f(\triangle) – f(\bullet)}{\triangle – \bullet} $$
3️⃣ 주의할 점
- 상수를 잘 곱해 미분계수 정의에 맞도록 식을 바꾸는 것이 중요해요.
- 분모에 항이 2개일 때는 인수분해 후 \((x – a)(x + a)\)로 정리하는 것이 핵심이에요.
👉 함께 보면 좋은 관련글
도움이 되셨다면 댓글과 공감 부탁드려요! 😊