😊 미분계수 개념 정리와 예제 풀이
1️⃣ 미분계수의 정의에요
함수 \( y = f(x) \)에서 \( x \)의 값이 \( a \)에서 \( a + \Delta x \)까지 변할 때 평균변화율은 아래와 같아요.
\[
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+\Delta x) – f(a)}{\Delta x}
\]
그리고 \( \Delta x \to 0 \)일 때 평균변화율의 극한이 존재한다면, 이것을 순간변화율 또는 미분계수라고 해요.
다음과 같이 표기해요:
\[
f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) – f(a)}{\Delta x}
\]
주의할점: 미분계수는 보통 \( f'(a) \)라고 읽고 ‘에프 프라임 a’라고 불러요.
[그림: 미분계수 정의 관련 이미지 삽입 위치]
2️⃣ 공식과 의미를 알려드릴게요
미분계수는 함수 그래프에서 점 \((a, f(a))\)에서의 접선 기울기를 의미해요.
다른 표현으로는 \( x = a \)에서의 순간변화율이라고도 해요.
[그림: 접선 기울기 설명 삽입 위치]
3️⃣ 개념살펴보기 (예제 설명이에요)
함수 \( f(x) = x^2 \)의 \( x=2 \)에서의 미분계수를 두 가지 방법으로 구해보아요!
방법 1:
\[ f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(2+\Delta x) – f(2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(2+\Delta x)^2 – 4}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 4) = 4 \]방법 2:
\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) – f(2)}{x – 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \][그림: 미분계수 계산 그래프 예제 이미지]
4️⃣ 개념확인문제와 풀이에요 ✅
다음 함수의 \( x=1 \)에서의 미분계수를 구해보세요.
- \( f(x) = x – 5 \)
- \( f(x) = x^2 + 3x \)
풀이과정
(1)
\[ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x) – f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)-5 – (-4)}{\Delta x} = 1 \](2)
\[ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^2 + 3(1+\Delta x) – (1^2 + 3 \cdot 1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 5) = 5 \][그림: 개념확인문제 그래프 이미지]
필요하신 내용이 있다면 댓글로 질문 남겨주세요! 😊
차근차근 이해할 수 있도록 계속 업데이트할게요!