개념 240: \( a^{m/n} \)의 정의

\( a > 0 \)이고 \( m \)은 정수, \( n \geq 2 \)인 정수일 때, \( a^{m/n} \)과 \( a^{1/n} \)을 다음과 같이 정의해요.

• \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \)
• \( a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \)

개념 살펴보기

개념 238에서 지수의 범위를 정수까지 확장했었죠. 이제는 지수의 범위를 유리수까지 확장하려고 해요. 우리의 목표는 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 확인하는 것이랍니다.

\( a > 0 \)일 때, 두 정수 \( m, n \)에 대해 지수법칙

\[ (a^m)^n = a^{mn} \]

이 성질이 지수가 유리수일 때도 성립한다면, 두 정수 \( m, n \)에 대해

\[ a^{m/n} = (a^m)^{1/n} \]

이 성질이 유지되므로 \( a^{m/n} \)은 \( a^m \)의 양의 \( n \)제곱근이 돼요. 즉, \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \)이어야 해요.

따라서 \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \)로 정의하면 지수법칙이 여전히 성립한답니다. 또한, \( a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \)로 정의하면 \( a^{-1/n} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} \)가 돼요.

개념 확인 문제

다음을 \( a^{m/n} \) 꼴로 나타내보세요. (단, \( a > 0 \))

1. \( \sqrt[4]{a} \)
2. \( \sqrt[5]{a^2} \)
3. \( \sqrt[3]{a^{-4}} \)
4. \( \frac{1}{\sqrt[7]{a^3}} \)

풀이

1. \( \sqrt[4]{a} = a^{1/4} \)
2. \( \sqrt[5]{a^2} = a^{2/5} \)
3. \( \sqrt[3]{a^{-4}} = a^{-4/3} \)
4. \( \frac{1}{\sqrt[7]{a^3}} = a^{-3/7} \)