개념 239: 지수법칙 – 지수가 정수일 때

\( a eq 0 \), \( b eq 0 \)이고, \( m, n \)이 정수일 때, 다음과 같은 지수법칙이 성립해요.

• \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
• \( (a^m)^n = a^{mn} \)
• \( (ab)^n = a^n b^n \)
• \( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)

개념 살펴보기

지수가 정수일 때도 위의 지수법칙이 성립하는지 확인해볼게요. 예를 들어, \( m, n \)이 양의 정수일 때,

\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]

가 성립해요. 만약 \( m, n \) 중 하나가 0이라면, \( a^0 = 1 \)이므로 위 식이 유지된답니다.

이제 \( m, n \)이 모두 음의 정수일 때도 성립하는지 확인해볼게요. \( m = -p \), \( n = -q \) (\( p, q \)는 양의 정수)라고 하면

\[ a^m \times a^n = \frac{1}{a^p} \times \frac{1}{a^q} = \frac{1}{a^{p+q}} = a^{-(p+q)} = a^{m+n} \]

따라서 위의 법칙이 성립한답니다!

개념 확인 문제

다음 식을 간단히 해보세요.

1. \( 3^5 \times 3^{-3} \div 3^4 \)
2. \( (2^{-2})^{-3} \div 2^3 \)
3. \( (a^2 b^3)^{-2} \times (ab)^{-1} \) (단, \( a \neq 0, b \neq 0 \))

풀이

1. \( 3^5 \times 3^{-3} \div 3^4 = 3^{5-3-4} = 3^{-2} = \frac{1}{9} \)
2. \( (2^{-2})^{-3} \div 2^3 = 2^{6} \div 2^3 = 2^{6-3} = 2^3 = 8 \)
3. \( (a^2 b^3)^{-2} \times (ab)^{-1} = a^{-4} b^{-6} \times a^{-1} b^{-1} = a^{-5} b^{-7} = \frac{1}{a^5 b^7} \)