개념 238: \( a^0 \)과 \( a^{-n} \)의 정의

\( a \neq 0 \)이고 \( n \)이 양의 정수일 때, \( a^0 \)과 \( a^{-n} \)을 다음과 같이 정의해요.

• \( a^0 = 1 \)
• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

개념 살펴보기

지금까지는 지수가 양의 정수인 경우에 대해서만 다루었어요. 이제 지수의 범위를 정수까지 확장할 수 있어요. 우리의 목표는 지수가 정수일 때도 지수법칙이 성립하는지를 확인하는 것이랍니다.

\( a \neq 0 \)일 때, \( m > n \)인 양의 정수 \( m, n \)에 대해 지수법칙

\[ a^m \div a^n = a^{m-n} \]

이 성질이 \( m = n \)일 때도 성립한다고 가정하면

\( a^m \div a^m = a^0 \)이므로, 따라서 \( a^0 = 1 \)이 되어야 해요.

또한 \( m = 0 \)일 때, 지수법칙을 유지하려면

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

위 정의에 따라 \( a^0 \)과 \( a^{-n} \)을 정리할 수 있어요.

개념 확인 문제

다음 값을 구해보세요.

1. \( \left( \frac{5}{2} \right)^0 \)
2. \( (-7)^0 \)
3. \( \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} \)
4. \( (-2)^{-5} \)

풀이

1. \( \left( \frac{5}{2} \right)^0 = 1 \)
2. \( (-7)^0 = 1 \)
3. \( \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = 9 \)
4. \( (-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} \)