개념 237: 거듭제곱근의 성질

임의의 양수 \( a, b \)와 2 이상의 정수 \( m, n \)에 대해, 다음과 같은 성질이 성립해요.

• \( \sqrt[n]{a^n} = a \)
• \( \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b} \)
• \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)
• \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \)

개념 살펴보기

거듭제곱근의 성질은 계산 과정에서 중요하게 쓰여요. 몇 가지 예제를 통해 살펴볼게요.

• \( \sqrt[2]{9} = 3 \)
• \( \sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{12} \)
• \( \frac{\sqrt[4]{4}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{2} \)
• \( \sqrt[5]{25} = 5^{2/5} \)
• \( \sqrt[6]{4^{-2}} = \frac{1}{\sqrt[6]{4^2}} = \sqrt[6]{4^{-2}} \)

위에서 보듯이, 모든 값은 양수예요. 음수가 포함되면 계산이 어려워질 수 있어요.

개념 확인 문제 1

다음 식을 간단히 해보세요.

1. \( \sqrt[4]{4} \times \sqrt[4]{64} \)
2. \( \frac{\sqrt[3]{0.01}}{\sqrt[3]{10}} \)
3. \( (\sqrt[5]{7})^{10} \)
4. \( \sqrt[4]{256} \)
5. \( \sqrt[5]{16} \times \sqrt[5]{64} \)
6. \( \sqrt[9]{3^5} \times \sqrt[9]{3^2} \)

풀이

1. \( \sqrt[4]{4} \times \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{4 \times 64} = \sqrt[4]{256} = 4 \)
2. \( \frac{\sqrt[3]{0.01}}{\sqrt[3]{10}} = \sqrt[3]{0.001} = 0.1 \)
3. \( (\sqrt[5]{7})^{10} = 7^{10/5} = 7^2 = 49 \)
4. \( \sqrt[4]{256} = 2^2 = 4 \)
5. \( \sqrt[5]{16} \times \sqrt[5]{64} = \sqrt[5]{16 \times 64} = \sqrt[5]{1024} = 4 \)
6. \( \sqrt[9]{3^5} \times \sqrt[9]{3^2} = \sqrt[9]{3^{5+2}} = \sqrt[9]{3^7} = 3 \)

개념 확인 문제 2

다음 식을 간단히 해보세요.

1. \( 2 \sqrt[3]{36} \times \sqrt[3]{81} \times \sqrt[3]{2} \)
2. \( \sqrt[3]{56} – \frac{\sqrt[3]{35}}{\sqrt[3]{5}} \)

풀이

1. \( 2 \sqrt[3]{36} \times \sqrt[3]{81} \times \sqrt[3]{2} = 2 \times \sqrt[3]{5832} = \sqrt[3]{5832} = -\sqrt[3]{6} \)
2. \( \sqrt[3]{56} – \frac{\sqrt[3]{35}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{56} – \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{7} \)