개념 235: 거듭제곱근

실수 \( a \)와 2 이상의 정수 \( n \)에 대하여 \( n \)제곱하여 \( a \)가 되는 수, 즉 방정식 \( x^n = a \)를 만족시키는 값을 \( a \)의 \( n \)제곱근이라고 해요.

예를 들어, \( x^2 = 1 \)을 만족시키는 값은 \( \pm 1 \)이므로, 1의 제곱근은 1과 -1이에요.

개념 살펴보기

\( x^3 = -1 \)을 만족하는 값을 찾으면, 방정식을 풀어야 해요.

\[ x^3 + 1 = 0 \] \[ (x + 1)(x^2 – x + 1) = 0 \] \[ x = -1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \]

따라서 -1의 세제곱근은 \( -1, \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2} \)이에요.

개념 확인 문제

다음 거듭제곱근을 구해보세요.

1. -1의 세제곱근
2. 16의 네제곱근
3. 256의 네제곱근
4. -125의 세제곱근

풀이

1. -1의 세제곱근을 찾으려면 \( x^3 = -1 \)을 풀어야 해요. \[ x = -1, \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2} \]
2. 16의 네제곱근을 찾으려면 \( x^4 = 16 \)을 풀어요. \[ (x – 2)(x + 2)(x – 2i)(x + 2i) = 0 \] \[ x = \pm 2, \pm 2i \]
3. 256의 네제곱근을 찾으려면 \( x^4 = 256 \)을 풀어요. \[ (x – 4)(x + 4)(x – 4i)(x + 4i) = 0 \] \[ x = \pm 4, \pm 4i \]
4. -125의 세제곱근을 찾으려면 \( x^3 = -125 \)을 풀어요. \[ (x + 5)(x^2 – 5x + 25) = 0 \] \[ x = -5, \frac{5 \pm 5 \sqrt{3} i}{2} \]

개념 확인 문제 2

다음 값을 구해보세요.

1. \( \sqrt[4]{0.0001} \)
2. \( \sqrt[5]{-32} \)

풀이

1. 0.0001의 네제곱근을 찾으면 \( 0.1 \)이에요.
2. -32의 다섯제곱근을 찾으면 \( -2 \)예요.