📌 개념 017: 인수정리
나머지정리에 의하여 다항식이 특정 일차식으로 나누어 떨어지는지 판별할 수 있으며, 이를 **인수정리**라고 합니다. 🎯
✅ 인수정리 공식
– **\( f(x) \) 가 \( x-a \) 로 나누어 떨어지면 \( f(a) = 0 \) 이다.**
– **\( f(a) = 0 \) 이면 \( x-a \) 는 \( f(x) \) 의 인수이다.**
1️⃣ 인수정리의 활용
나머지정리에 의해 \( f(x) \) 를 \( x-a \) 로 나누었을 때 나머지가 0이라면, 즉 \( f(a) = 0 \) 이라면 **\( x-a \) 는 \( f(x) \) 의 인수**입니다.
2️⃣ 인수정리 예제
다항식 \( f(x) = x^2 – 3x – 4 \) 에 대해 확인해 보겠습니다.
– \( f(4) = 4^2 – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0 \)
– 따라서 **\( x-4 \) 는 \( f(x) \) 의 인수**입니다. ✅
– 또한 \( f(-1) = (-1)^2 – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0 \)
– 따라서 **\( x+1 \) 도 인수**입니다. ✅
– 즉, \( f(x) = (x-4)(x+1) \) 로 인수분해됩니다.
📌 인수정리 활용
이제 인수정리를 활용하여 빠르게 인수를 찾아봅시다.
✅ 예제 1
다항식 \( f(x) = x^3 – 2x^2 + 5x – 6 \) 가 \( x-3 \) 로 나누어 떨어지도록 하는 상수 \( a \) 의 값을 구하세요.
– **인수정리에 의해 \( f(3) = 0 \) 이어야 함**
– \( f(3) = 3^3 – 2(3)^2 + 5(3) – 6 \)
– \( = 27 – 18 + 15 – 6 = 18 \neq 0 \)
– 즉, **\( x-3 \) 는 인수가 아님** ✅
✅ 예제 2
다항식 \( f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + 3 \) 가 \( x-1 \) 로 나누어 떨어지도록 하는 \( a \) 값을 구하세요.
– 인수정리에 의해 \( f(1) = 0 \) 이어야 함
– \( f(1) = 1^3 + 2(1)^2 + a(1) + 3 = 0 \)
– \( 1 + 2 + a + 3 = 0 \)
– \( a = -6 \)
– 따라서 \( a = -6 \) 이면 \( x-1 \) 이 인수가 됩니다. ✅
💡 연습 문제
다음 다항식을 인수정리를 활용하여 인수분해하세요.
| 문제 | 풀이 과정 | 정답 |
|---|---|---|
| \( x^2 – 5x + 6 \) | \[ (x-3)(x-2) \] | \( (x-3)(x-2) \) |
📌 오늘의 핵심 정리!
✅ **\( x-a \) 가 \( f(x) \) 의 인수이면 \( f(a) = 0 \) 이다.**
✅ **\( f(a) = 0 \) 이면 \( x-a \) 는 \( f(x) \) 의 인수이다.**
✅ **\( f(a) = 0 \) 이면 \( x-a \) 는 \( f(x) \) 의 인수이다.**
📌 혹시 이해가 안 되거나 더 궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨 주세요! 😊