📌 개념 016: 나머지정리

다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구할 때, **직접 나눗셈을 하지 않고도** 구할 수 있는 방법이 있습니다. 이 성질을 **나머지정리**라고 합니다.

✅ 나머지정리 공식

1️⃣ 나머지정리의 증명

다항식 \( f(x) \) 를 \( x-a \) 로 나누었을 때 몫을 \( Q(x) \), 나머지를 \( R \) 라 하면,

\[ f(x) = (x-a)Q(x) + R \]

이 등식은 **항등식**이므로 \( x=a \) 를 대입하면,

\[ f(a) = (a-a)Q(a) + R = R \]

따라서 **나머지는 \( f(a) \) 가 됩니다.** 🎯

2️⃣ 일반적인 나머지 공식

만약 \( f(x) \) 를 **\( ax+b \)** 로 나누는 경우라면,

\[ f(x) = (ax+b)Q(x) + R \]

양변에 \( x = -b/a \) 를 대입하면,

\[ f(-b/a) = R \]

따라서 **나머지는 \( f(-b/a) \) 가 됩니다.**

📌 나머지정리의 활용

이제 나머지정리를 활용하여 빠르게 나머지를 구해봅시다.

✅ 예제 1

다항식 \( f(x) = 2x^3 – x^2 + 3x – 5 \) 를 \( x+2 \) 로 나누었을 때 나머지를 구해보겠습니다.

따라서 나머지는 **\(-31\)** 입니다. ✅

✅ 예제 2

다항식 \( f(x) = 3x^3 – 2x + 4 \) 를 \( 2x-1 \) 로 나누었을 때 나머지를 구해보겠습니다.

따라서 나머지는 **\( \frac{27}{8} \)** 입니다. ✅

💡 연습 문제

다음 다항식을 나머지정리를 이용하여 나눌 때, 나머지를 구하세요.

문제	풀이 과정	정답
\( f(x) = x^3 – 2x + 5 \) 를 \( x+1 \) 로 나눈 나머지	\[ f(-1) = (-1)^3 – 2(-1) + 5 \] \[ = -1 + 2 + 5 = 6 \]	\( 6 \)

📌 오늘의 핵심 정리!

📌 혹시 이해가 안 되거나 더 궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨 주세요! 😊

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