📌 개념 009: 곱셈 공식의 변형
곱셈 공식은 단순한 전개뿐만 아니라 변형하여 사용할 수도 있습니다. 변형된 공식을 활용하면 복잡한 식을 더 쉽게 정리할 수 있어요.
1️⃣ 곱셈 공식의 변형
✅ \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab \)
✅ \( a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab \)
✅ \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \)
✅ \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \)
✅ \( a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 – 2(ab+bc+ca) \)
✅ \( a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca = \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) \)
✅ \( a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) + 3abc \)
2️⃣ 대칭식과 합과 곱의 관계
대칭식이란 변수의 순서를 바꿔도 변하지 않는 식이에요. 예를 들어,
\[ f(x,y) = x^2 – y^2 \]
에서 \( x \)와 \( y \)를 바꾸면 \( f(y,x) = y^2 – x^2 \)이므로 대칭식이 아닙니다. 하지만, 아래 식은 대칭식이에요.
\[ a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab \]
3️⃣ 공식 활용 예제
주어진 값들을 활용하여 식을 계산해볼까요?
| 문제 | 풀이 | 정답 |
|---|---|---|
| \( a+b=6, ab=5 \)일 때, \( a^2 + b^2 \) | \( (a+b)^2 – 2ab = 6^2 – 2(5) \) | 26 |
| \( x+y=3, xy=-2 \)일 때, \( x^3 + y^3 \) | \( (x+y)^3 – 3xy(x+y) = 3^3 – 3(-2)(3) \) | 20 |
| \( a+b+c=2, ab+bc+ca=-1 \)일 때, \( a^2 + b^2 + c^2 \) | \( (a+b+c)^2 – 2(ab+bc+ca) = 2^2 – 2(-1) \) | 6 |
📝 오늘의 핵심 정리!
✅ 곱셈 공식을 변형하면 식을 더욱 쉽게 정리할 수 있어요.
✅ 대칭식을 활용하면 변수 간의 관계를 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
✅ 연산 속도를 높이려면 곱셈 공식을 변형하여 계산하는 습관을 들이세요!
✅ 대칭식을 활용하면 변수 간의 관계를 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
✅ 연산 속도를 높이려면 곱셈 공식을 변형하여 계산하는 습관을 들이세요!
📌 혹시 이해가 안 되거나 더 궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨 주세요! 😊