문제 풀이
핵심 단서
- 함수 \( f(x) = x^3 – 3(a+1)x^2 – 4ax + 2 \)가 주어짐.
- 두 서로 다른 실수 \( x_1, x_2 \)에 대해 \( f(x_1) \neq f(x_2) \)를 만족해야 함.
- \( f(x_1) = f(x_2) \)가 성립하지 않으려면 함수 \( f(x) \)가 전 단조함수(증가 또는 감소)가 되어야 함.
- 전 단조성을 확인하려면 \( f'(x) \)의 부호가 실수 전체에서 일정해야 함.
해설
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미분을 통한 단조성 확인
\( f(x) \)를 미분하면, \[ f'(x) = 3x^2 – 6(a+1)x – 4a \] 입니다. \( f'(x) = 0 \)의 해를 통해 부호 변화 여부를 살펴봅니다. -
이차방정식 판별식 계산
\( f'(x) = 0 \)인 \( 3x^2 – 6(a+1)x – 4a = 0 \)의 판별식을 구합니다.
판별식 \( D \)는 다음과 같습니다: \[ D = [-6(a+1)]^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-4a) = 36(a+1)^2 + 48a \] -
판별식이 0 이하인 조건
\( f'(x) \)가 부호 변화를 가지지 않으려면 \( D \leq 0 \)이어야 합니다.
\( D = 36(a+1)^2 + 48a \leq 0 \)를 풀면:- \( 36(a+1)^2 + 48a = 36a^2 + 120a + 36 \)
- \( 36(a^2 + 10a + 1) \leq 0 \)
- \( a^2 + 10a + 1 \leq 0 \)
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이차 부등식 풀이
\( a^2 + 10a + 1 \leq 0 \)를 풀기 위해 근의 공식을 사용합니다: \[ a = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{96}}{2} = -5 \pm 2\sqrt{6} \] 따라서 \( a \)의 범위는: \[ -5 – 2\sqrt{6} \leq a \leq -5 + 2\sqrt{6} \] 정수 \( a \)의 값은 \( -7, -6, -5, -4 \)입니다. -
정수 \( a \) 값의 합
\( -7 + (-6) + (-5) + (-4) = -22 \)입니다.
결론
모든 정수 \( a \) 값의 합은 -22입니다.
관련 개념
- 전 단조 함수: 함수의 증가 또는 감소가 실수 전체 구간에서 변하지 않는 함수.
- 판별식: 이차방정식의 해의 개수를 결정하는 데 사용.
- 근의 공식: \( ax^2 + bx + c = 0 \)의 해를 구하는 공식.
실수 포인트
- \( D \leq 0 \) 조건을 놓치지 않도록 주의.
- 정수 \( a \) 값만 구하는 문제임을 확인.
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