문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
두 점 모두 원점(=0)에서 출발했으니 위치는 속도를 0부터 t까지 적분한 값이다. x₁(t)=∫(t²-6t+5)dt=(1/3)t³-3t²+5t, x₂(t)=∫(2t-7)dt=t²-7t. t=0에서 위치가 0이라 적분상수는 저절로 0이 된다.
◀ 원점 출발 → 적분상수 0, 부정적분만 깔끔히 쓴다
f(t)=|x₁(t)-x₂(t)|=|(1/3)t³-4t²+12t|. 안쪽을 g(t)=(1/3)t³-4t²+12t로 두면 t≥0에서 g(t)≥0이라 절댓값이 벗겨져 f=g가 된다. 절댓값 함수는 언제나 안쪽 부호부터 확인하는 게 순서다.
◀ 안쪽 부호를 먼저 확인하면 절댓값이 풀린다
f=g이므로 f의 증감은 g′(t)=t²-8t+12=(t-2)(t-6)의 부호로 결정된다. g′=0에서 t=2 또는 t=6. 증가→감소→증가 순서와 정확히 맞아 a=2, b=6. ‘증가·감소·증가’라는 서술은 곧 도함수 부호가 +,-,+로 배열된다는 뜻이다.
◀ 구간별 증감 서술 = f′의 부호표를 말로 푼 것
Q의 이동거리는 ∫₂⁶|2t-7|dt. v₂=0인 t=7/2에서 부호가 바뀌니 그 지점에서 끊는다. 삼각형 두 개 넓이로 계산하면 (1/2)·(7/2-2)·3 + (1/2)·(6-7/2)·5 = 9/4 + 25/4 = 17/2.
◀ ‘움직인 거리’는 넓이 — 속도 0에서 반드시 끊어라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘증가·감소·증가’라는 서술을 보면 곧바로 f′(t)의 부호가 +,-,+로 바뀐다는 뜻으로 번역한다. 그러면 a,b는 f′=0의 해다. 두 점 사이 거리는 위치 차의 절댓값이고, 안쪽이 t≥0에서 양수라 절댓값이 자연히 벗겨진다.
실수 포인트 ① : 이동 ‘거리’인데 위치 ‘변화량'(∫v dt, 부호 그대로)으로 계산하는 실수. 거리는 반드시 |v|를 적분해야 하므로 v=0이 되는 t=7/2에서 끊어야 한다.
실수 포인트 ② : a,b를 v₁,v₂ 각각의 부호가 아니라 두 점 거리함수 f=|x₁-x₂|의 증감으로 판단해야 함을 놓치는 실수.
실수 포인트 ③ : 원점 출발이라 적분상수를 0으로 둘 수 있는데 습관적으로 +C를 붙여 헤매는 실수.
정답 : ② (17/2)