문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
만나는 시각은 x_P(t)=x_Q(t)를 푸는 것. 위치는 각각 원점부터 적분해 x_P=-t²+4t, x_Q=t²-4t. 같게 두면 2t²-8t=0, 2t(t-4)=0이라 a=4. ‘만난다’를 v_P=v_Q로 착각하면 완전히 다른 답이 나온다.
◀ 만남=위치 일치(x_P=x_Q), 속도 일치가 아니다
거리는 |x_P-x_Q|=|-2t²+8t|=|-2(t-2)²+8|. 만나기 전 0<t<4 구간에서 이차식 -2(t-2)²+8은 꼭짓점 t=2에서 최댓값 8. 따라서 b=2. 거리 최대는 (정의역 안이라면) 꼭짓점이 정답이다.
◀ 거리 최대는 |차이|의 꼭짓점, 정의역 확인 필수
v_P=-2t+4, v_Q=2t-4는 부호만 정반대. 그러면 x_Q=-x_P라 거리=|x_P-x_Q|=2|x_P|. 대칭을 알아채면 한쪽만 계산하고 2배 하면 되어 실수가 준다. 마지막에 b<a(2<4) 조건까지 확인하면 a+b=4+2=6.
◀ 속도가 반대부호면 위치 대칭→거리=2|x_P|
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 요구를 분리하라. ‘만난다’는 위치가 같다(x_P=x_Q)는 방정식이고, ‘거리 최대’는 |x_P-x_Q|의 최댓값(이차함수 꼭짓점)이다. 서로 다른 도구를 쓰는 두 문제를 한 번에 처리한다고 생각하라.
실수 포인트 ① : ‘만난다’를 속도가 같다(v_P=v_Q)로 착각하는 실수. 만나는 것은 같은 위치에 있는 것, 즉 x_P(t)=x_Q(t)다.
실수 포인트 ② : 거리 |x_P-x_Q|에서 절댓값을 빼먹거나 정의역을 무시하는 실수. 꼭짓점 t=2가 0<t<a=4 안에 있는지 반드시 확인해야 한다(이 문제는 안에 있어 b=2).
실수 포인트 ③ : b<a 조건을 확인하지 않는 실수. 거리 최대 시각 b=2가 만나는 시각 a=4보다 앞서므로 조건 충족. a+b=6.
정답 : 6 (a=4, b=2)