문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
P는 t=0에 원점 출발이므로 적분상수=0. 시각 t의 위치는 x(t)=∫₀ᵗ v(t)dt. ㄱ에서 k=0이면 v(t)=t²+4, x(t)=t³/3+4t라 x(1)=1/3+4=13/3. ‘위치’는 무조건 정적분 한 방으로 끝낸다.
◀ ‘위치=∫₀ᵗ속도’, ‘변화량’, ‘거리’를 절대 헷갈리지 마라
방향 전환 횟수는 v(t)의 부호가 바뀌는 실근 개수다. ㄴ에서 k=3이면 v(t)=t²-3t+4, 판별식 D=9-16=-7<0이라 실근이 없다. 즉 v는 항상 양수(아래로 안 내려감), 방향이 한 번도 안 바뀐다. 그래서 ㄴ은 거짓. 인수분해가 안 되면 곧장 판별식으로 판정하라.
◀ 이차 속도는 판별식 부호가 방향 전환의 스위치다
ㄷ에서 k=5면 v(t)=t²-5t+4=(t-1)(t-4). [0,2]에서 t=1을 기준으로 앞은 v>0, 뒤는 v<0. 거리는 ∫₀¹v dt+∫₁²(-v)dt=11/6+7/6=3. 부호 바뀌는 지점에서 끊고 음수 구간은 절댓값(부호 뒤집기)으로 더해야 참값이 나온다.
◀ 거리 문제는 v=0인 시각에서 구간을 끊어라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 보기가 각각 다른 무기를 요구한다. ㄱ은 ‘위치=∫₀ᵗv’, ㄴ은 ‘방향전환=v의 부호변화(판별식)’, ㄷ은 ‘거리=∫|v|’. 어떤 개념을 묻는지부터 분류하면 길이 보인다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 v(t)=t²-3t+4가 인수분해되지 않는다고 멈추는 실수. 판별식 D<0이면 실근 없음=부호 안 바뀜=방향 전환 없음이다. 따라서 ‘한 번 바뀐다’는 거짓.
실수 포인트 ② : ㄷ에서 위치변화량(∫v)과 이동거리(∫|v|)를 혼동하는 실수. v<0인 구간을 부호 그대로 더하면 거리가 아니다. v=0인 t=1에서 끊어 절댓값을 씌워야 3이 나온다.
실수 포인트 ③ : 위로 볼록 착각. v의 최고차항 계수가 +라 두 실근 사이에서만 음수다. (t-1)(t-4)는 1<t<4에서 음수이므로 [0,2]에선 t=1 이후가 음수 구간.
정답 : ③ (ㄱ, ㄷ)