문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
t≥2에서 a(t)=6t+4이므로 v(t)=∫a dt=3t²+4t+C. 가속도→속도는 부정적분이고, 적분상수 C는 아직 미지수로 남긴다. ‘가속도 조건’을 보면 반사적으로 적분해 속도식부터 세워라.
◀ a→v는 부정적분, 상수 C는 다음 단계에서 결정한다
t=2에서 두 속도식이 이어져야 한다. 앞 식 v(2)=2·2³−8·2=0이므로 뒤 식도 v(2)=0이어야 한다. 12+8+C=0 → C=−20. 조각함수의 이음새는 언제나 ‘연속’ 조건으로 미지수를 결정하는 자리다.
◀ 조각난 속도의 이음새 = 연속 = C 결정 방정식
거리는 ∫03|v|dt. 0≤t≤2에서 v=2t(t−2)(t+2)<0, 2≤t≤3에서 v=3t²+4t−20>0. 부호가 갈리는 t=2를 경계로 −∫02v+∫23v=8+9=17. 부호 바뀌는 점을 놓치면 절댓값이 통째로 무너진다.
◀ v=0인 지점이 절댓값을 쪼개는 칼금이다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 가속도가 주어진 구간은 부정적분으로 속도를 복원하고, 적분상수는 ‘속도 그래프 연속’으로 잡는다. 그 다음 ‘움직인 거리’는 ∫|v|이므로 속도의 부호가 바뀌는 t=2를 경계로 쪼갠다. 복원 → 연속 → 절댓값 세 박자로 흘러가는 문제다.
실수 포인트 ① : ‘움직인 거리’인데 ∫v(변화량)로 계산하는 실수. 0<t<2에서 v<0이라 절댓값 없이 더하면 값이 상쇄돼 틀린다.
실수 포인트 ② : 연속조건을 쓰지 않고 적분상수 C를 방치하는 실수. 속도는 연속이어야 하므로 v(2)=0을 양쪽에 걸어 C=−20을 얻는다.
실수 포인트 ③ : 음수 구간 적분에 −부호 붙이길 잊는 실수. ∫02v=−8이지만 거리는 +8, 뒤 구간 +9를 더해 총 17이다.
정답 : 17