문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
3km 달리는 데 걸리는 시간 x는 ∫0xv dt=(1/4)x³+(1/4)x²=3에서 나온다. x³+x²−12=0 → (x−2)(x²+3x+6)=0 → x=2. ‘거리 조건’은 항상 ‘정적분값=거리’라는 방정식으로 번역해 경계시각(속도 공식이 바뀌는 시점)을 먼저 잡아라.
◀ 주어진 거리 = 정적분값, 이 등식이 경계시각을 준다
t=2 이후는 v(2)=(3/4)·4+(1/2)·2=4(km/분)로 일정하다. 등속구간의 거리는 적분할 필요 없이 속도×시간=4×(5−2)=12(사각형 넓이)로 끝난다. ‘일정하다’는 단어를 보면 곧바로 상수 속도로 갈아끼우고, 넓이 계산으로 전환하라.
◀ 등속구간은 넓이=가로×세로, 적분을 생략할 수 있다
5분 거리 = ∫02v dt + ∫254 dt = 3 + 12 = 15. 앞 2분은 곡선 적분(이미 3km로 확정), 뒤 3분은 상수 적분이다. 5분을 ‘앞 2분 + 뒤 3분’으로 쪼개 각 구간의 계산법을 따로 적용하는 것이 정석이다.
◀ 5분 = 2분(곡선) + 3분(등속), 계산법을 갈아끼운다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘v(t) 공식이 유효한 구간은 3km 달릴 때까지’라는 숨은 경계를 찾는 것이 시작이다. ∫0xv dt=3으로 도달시각 x=2를 먼저 구하고, 그 이후는 v(2)=4의 등속운동으로 처리한다. 구간을 [0,2] 곡선과 [2,5] 등속으로 쪼개는 순간 문제가 절반으로 줄어든다.
실수 포인트 ① : 5분 전체를 v(t)=(3/4)t²+(1/2)t로 적분하는 실수. 이 식은 2분까지만 유효하고, 이후는 상수 4다.
실수 포인트 ② : 삼차방정식 x³+x²−12=0에서 x=2 말고 다른 근을 찾느라 시간을 버리는 실수. x²+3x+6=(x+3/2)²+15/4>0이라 실근은 x=2 하나뿐이다.
실수 포인트 ③ : 뒤 구간 거리 ∫254dt를 4×5로 계산하는 실수. 구간 길이는 3분이므로 4×3=12다. 앞 3km + 뒤 12km = 15km.
정답 : 15 (km)