문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
정적분은 넓이가 아니라 부호붙은 넓이다. [0,1]에서 f≥0 → +S₁, [1,4]에서 f≤0 → −S₂, [4,k]에서 f≥0 → +S₃. 그래서 ∫₀ᵏ f dx = S₁−S₂+S₃. x축 위/아래로 구간을 쪼개 부호부터 붙이는 게 첫 단추다.
◀ x축 아래 구간은 정적분에서 부호가 −다
S₁, S₂, S₃이 등차 → 2S₂=S₁+S₃. 위 식에 대입하면 ∫₀ᵏf = (S₁+S₃)−S₂ = 2S₂−S₂ = S₂. k도 S₁도 S₃도 구하지 않고 답이 S₂ 하나로 압축된다. 등차중항은 세 항을 하나로 줄이는 지렛대다.
◀ 등차중항 한 번이면 미지수 k가 사라진다
S₂ = −∫₁⁴(x²−5x+4)dx. 근이 1, 4이고 최고차 a=1이니 넓이공식 |a|/6·(β−α)³ = 1/6·(4−1)³ = 27/6 = 9/2. 이차함수와 x축 사이 넓이는 적분 전개 없이 ⅙공식으로 끝내라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ∫₀ᵏf를 넓이의 부호합 S₁−S₂+S₃로 쪼갠 뒤, 등차중항 2S₂=S₁+S₃를 대입하면 답이 S₂ 하나로 압축된다. k도 S₁도 S₃도 구할 필요 없이 S₂만 ⅙공식으로 뽑으면 끝. ‘등차’라는 조건이 세 미지수를 하나로 줄이는 열쇠다.
실수 포인트 ① : ∫₀ᵏf를 그냥 넓이 합 S₁+S₂+S₃로 두는 실수. x축 아래 구간의 S₂는 정적분에서 부호가 −다.
실수 포인트 ② : k를 실제로 구하려고 S₃까지 적분하는 실수. 등차중항을 쓰면 k는 아예 등장하지 않는다.
실수 포인트 ③ : S₂ 앞의 −부호를 빠뜨리거나, ⅙공식에서 (β−α)³=(4−1)³=27을 잘못 계산하는 실수. 1/6·27 = 9/2.
정답 : ④ (9/2)