문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
G(x)=∫₁ˣ(x−t)f(t)dt라 두면 조건은 limx→2 G(x)/(x−2)=3. 분모 (x−2)→0인데 극한값 3이 존재하니 분자 G(x)도 반드시 →0, 즉 G(2)=0이 공짜로 나온다. 게다가 limx→2(G(x)−G(2))/(x−2)는 미분계수의 정의 그 자체라 그 값 3이 곧 G′(2)=3. 한 줄짜리 조건에서 G(2)=0과 G′(2)=3 두 정보를 동시에 뽑아낸다.
◀ 0/0 극한값 = 미분계수, 분자=0은 덤
적분 안에 적분변수 t와 바깥변수 x가 섞여 있으면 x를 상수처럼 밖으로 빼라. G(x)=x∫₁ˣf(t)dt − ∫₁ˣt f(t)dt로 분리한 뒤 곱의 미분을 쓰면, xf(x)와 −xf(x)가 상쇄되어 G′(x)=∫₁ˣf(t)dt로 깔끔히 정리된다. 이 (x−t) 커널은 한 번 미분하면 적분이 하나 벗겨지는 구조라 외워두면 즉답이다.
◀ (x−t)f 커널 → 한 번 미분하면 ∫f, 두 번이면 f(x)
∫₁²(4x+1)f(x)dx = 4∫₁²x f(x)dx + ∫₁²f(x)dx로 쪼갠다. 앞에서 ∫₁²f=3(=G′(2)), 그리고 G(2)=2∫₁²f − ∫₁²t f=0에서 ∫₁²t f=2×3=6을 이미 구해뒀다. 적분변수 문자(x·t)만 다를 뿐 같은 값이므로 그대로 대입 → 4×6+3=27. 구하는 식을 ‘이미 아는 조각’으로 쪼개는 게 정적분 정의함수 문제의 왕도다.
◀ 이 문제의 출제 포인트: 조각 분해 + 값 조립
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 정적분으로 정의된 함수 G(x)=∫₁ˣ(x−t)f(t)dt를 세우는 순간 절반은 끝난다. 조건의 0/0 꼴 극한을 미분계수의 정의로 번역해 G(2)=0, G′(2)=3을 얻고, x를 적분 밖으로 빼 미분하면 G′(x)=∫₁ˣf(t)dt라는 핵심식이 나온다. 여기서 ∫₁²f=3, ∫₁²t f=6 두 관계식만 손에 쥐면, 구하는 ∫₁²(4x+1)f dx는 조각으로 분해해 대입하는 산수로 끝난다.
실수 포인트 ① : (x−t)f(t)를 미분할 때 xf(x) 항 처리를 놓치는 실수. 반드시 x∫f − ∫t f 형태로 분리한 뒤 곱의 미분을 써야 xf(x)와 −xf(x)가 상쇄되어 G′(x)=∫₁ˣf(t)dt가 정확히 나온다.
실수 포인트 ② : G(2)=0 조건을 흘려버리는 실수. 0/0 꼴이라 분자도 0이어야 한다는 사실에서 ∫₁²t f=2∫₁²f=6이라는 두 번째 관계식이 나온다. 이걸 빼먹으면 ∫t f 값을 못 구해 막힌다.
실수 포인트 ③ : 적분변수가 x냐 t냐를 다른 값으로 착각하는 실수. ∫₁²x f(x)dx와 ∫₁²t f(t)dt는 문자만 다를 뿐 완전히 같은 값(=6)이다. 변수 이름에 속지 마라.
정답 : ⑤ (27)