문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
h(x)=∫₀ˣ(g(t)−f(t))dt를 미분하면 h′(x)=g(x)−f(x). 'h가 극값 오직 하나'는 h′=0에서 부호가 딱 한 번 바뀐다는 뜻이고, 이는 곧 y=g와 y=f가 부호변화를 동반해 오직 한 번 교차한다는 것. 정적분 함수의 극값 문제는 항상 두 그래프 교차 개수로 번역하라.
◀ 극값 개수 = 두 그래프가 뚫고 지나가는 교차점 개수
g(x)=a(x+1)(x<−1)은 점 (−1,0)을, g(x)=a(x−1)(x≥1)은 점 (1,0)을 지나고 기울기가 모두 a라 평행하다. 가운데 −1≤x<1은 g=0. f는 x<0에서 −x²(위로 볼록), x≥0에서 x²−x. x=1에서 f와 g가 이미 둘 다 0이라 여기가 1차 교차점 후보다. 조각별로 그림부터 그려라.
◀ g의 두 반직선이 (±1,0)을 지난다는 기하가 열쇠
x<−1에서 g=ax+a가 f=−x²에 접하거나 안 만나야 왼쪽에 불필요한 교차가 안 생긴다. −x²=ax+a → x²+ax+a=0의 판별식 D=a²−4a≤0 → 0≤a≤4. 즉 a가 커질 수 있는 한계는 접하는 순간(D=0)이고, 그때 a의 최댓값 k=4. '최댓값'은 거의 항상 접선(판별식 0) 경계에서 나온다.
◀ 최댓값·최솟값은 접하는 경계에서 터진다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : h(x)=∫₀ˣ(g−f)dt이므로 h′(x)=g(x)−f(x). '극값 오직 하나'는 h′이 부호를 딱 한 번 바꾼다는 것이고, 이는 y=g와 y=f가 부호변화를 동반해 오직 한 번 교차한다는 뜻이다. g는 (−1,0),(1,0)을 지나는 기울기 a의 평행한 두 반직선, f는 조각별 포물선. x=1에서는 f,g가 이미 만나므로, 나머지 구간(특히 x<−1)에서 여분의 교차가 생기지 않도록 직선이 포물선에 접하는 판별식 조건으로 a의 범위를 잡는다.
실수 포인트 ① : x=1 교차를 놓치거나, x>1에서 새 교차가 생기는 경우(a>1)와 x=1이 유일 극값인 경우(a≤1)를 나눠서 보지 않는 실수. 두 경우 모두 결국 x<−1의 접선조건 D=a²−4a≤0이 상한을 준다.
실수 포인트 ② : x<−1에서 g=ax+a와 f=−x²를 놓고 판별식 세울 때 부호를 틀리는 실수. −x²=ax+a → x²+ax+a=0, D=a²−4a이다.
실수 포인트 ③ : h(3)을 구할 때 구간을 [0,1],[1,3]으로 나누지 않고 통째로 적분하는 실수. a=4에서 h(3)=∫₀¹{0−(t²−t)}dt+∫₁³{(4t−4)−(t²−t)}dt=7/2. 따라서 k+h(3)=4+7/2=15/2.
정답 : ④ (k+h(3)=15/2)